Приложение 4А. Идентификация многомерных модельных структур типа черного ящика

Раздел многомерных модельных структур и канонических форм представления многомерных систем часто считают трудным для восприятия и ему посвящен ряд разнообразных источников. Здесь мы приведем лишь самые необходимые сведения, предложив тем читателям, кому понадобится более углубленное и широкое знакомство с предметом, обратиться к литературным источникам. См. список литературы.

По-прежнему, вопрос заключается в том, выполняется ли условие (4.133) в данной точке Изложение следует плану раздела 4.6. Сначала рассматриваются полиномиальные параметризации или дробно-матричные представления типа (4.52) -(4.58), а только затем модели в пространстве состояний. Всюду в этом разделе обозначает число выходных сигналов, число входных сигналов.

Дробно-матричные представления (ДМП). Рассмотрим сначала простую многомерную ARX-структуру (4.49)- (4.53). В этом случае используется функция

где 0 соответствует всем коэффициентам матричных многочленов (относительно и Их порядки могут быть произвольными. Как и в случае одномерных моделей можно сразу убедиться в том, что (4.133) выполнено для всех . Следовательно, модельная структура, задаваемая является строго глобально идентифицируемой.

Перейдем теперь к структуре модели выходной ошибки

Следует отметить, что изучение включает, как частные случаи, исследование многомерных ARMАХ-структур и многомерных моделей Бокса-Дженкинса. См. ниже следствие из теоремы

Здесь матричный многочлен является -матрицей

элементы которой суть многочлены от :

Итак, степень многочлена обозначается как Аналогично, это матричный многочлен размера Порядки его элементов будут обозначаться как

Структура по существу определяется выбором порядков и (т.е. гаданием целых чисел). Это приводит к тому, что число возможных модельных структур оказывается умопомрачительным. В литературе исследуются некоторые частные случаи:

Во всех этих случаях первая из матриц является единичной:

Форма записи названа в работе Седерстрема и Стойка [374] полной полиномиальной формой. Ясно, что это частный случай варианта рассмотренный и использовавшийся в работах [162], [167], [210], [190] и других.

Форма записи определяет диагональную -матрицу и применена, в частности, в работах [209], [361], [129].

Структура в которой разным столбцам соответствуют разные порядки, рассматривается, например, в работах [150], [129], [134].

Замечание. В литературе, особенно в тех источниках, в которых рассматриваются канонические формы записи, а не приложения идентификации, часто вместо многочленов (как мы и делали в одномерном случае) рассматриваются многочлены

относительно переменной Канонические формы записи (например, эрмитовы формы, см. [100], [164] или [198]) в этом случае, как правило, будут содержать вырожденные матрицы Такие представления для наших целей не годятся, поскольку не удается явно выразить через собранные в прошлом значения данных.

Свойство идентифицируемости в диагональном представлении можно изучать по аналогии с подходом к исследованию одномерных систем. Для остальных представлений нам понадобятся дополнительные сведения о матричных многочленах.

Некоторые понятия из теории матричных многочленов. В гл. 6 книги Кайлата [198] содержится подробная сводка терминологии и содержательных результатов из теории матричных многочленов. Нам понадобятся только некоторые из них.

Матричный многочлен размера называется унимодулярным, если постоянен. В этом случае также матричный многочлен. Два многочлена с одинаковым числом строк имеют общий левый делитель, если найдется такой матричный полином что

для некоторых матричных многочленов

Говорят, что левые взаимно простые многочлены, если все их общие левые делители унимодулярны. Это непосредственное обобщение аналогичного понятия для скалярных многочленов. Основная теорема утверждает, что если многочлены левые взаимно простые, то существуют такие матричные

многочлены и что

(матрица тождественного преобразования).

Утрата идентифицируемости в многомерных ДМП-структурах. Теперь можно сформулировать основной результат в области исследования идентифицируемости.

Теорема Рассмотрим -модель выходной ошибки в которой степени многочленов выбраны по варианту Пусть в в сведены все коэффициенты получающихся матричных многочленов и пусть многочлены относительно соответствующие значению Пусть

- диагональные матрицы с определенными в (4А.7). Определим как многочлены от Теперь можно утверждать, что рассматриваемая модельная структура глобально и локально идентифицируема в точке 0 тогда и только тогда, когда

Доказательство. Пусть в соответствует многочленам и и пусть

Это соотношение можно переписать в виде

где определяются аналогично и Это даст

Если левые взаимно простые, то в силу найдутся такие матричные многочлены , что

Подстановка в это соотношение дает

или

Поскольку левая часть представляет собой матричный многочлен от то и является таким многочленом. При этом

Заметим, что в силу

Умножение на дает

а поскольку многочлен от то следовательно, что в свою очередь означает выполнение равенства Достаточность

доказана. Если соотношение не выполнено, то из многочленов можно выделить общий, неунимодулярный, левый множитель и заменить его на произвольную матрицу того же размера, что и выполнении условия Это доказывает необходимость.

Теорема может быть непосредственно применена к модельной структуре вида

где обладают степенями, удовлетворяющими Ее можно также распространить на многомерную ARMАХ-сгруктуру

Следствие Рассмотрим ARMAX-структуру со степенями удовлетворяющими Пусть (матричный многочлен размера суть многочлены, как сказано в теореме, соответствующие точке в Тогда структура является идентифицируемой в точке в в том и только том случае, когда левые взаимно простые.

Полезность этих результатов по идентифицируемости обусловлена тем обстоятельством, что хотя в рассмотрение вводится (или даже для ARMAX-случая) разных передаточных функций, для отыскания идентифицируемой структуры нужно выбрать только порядков (степеней столбцов).

Структура моделей в пространстве состояний. Для многомерной модели в пространстве состояний (4.143а) вводится параметрическая структура, аналогичная

(см. скан)

Число строк, заполненных знаками X в матрице равно числу выходных сигналов. Стало быть, в рассматриваемом примере Иначе говоря, структура общего вида определяется следующим образом:

пусть матрица, которая первоначально заполнена нулями, кроме наддиагонали, содержащей единицы. Пусть теперь где номера строк, заполненных значениями параметров. Положим и пусть матрица заполнена нулями, кроме позиций, соответствующих в строке столбцу соответственно. Пусть матрицы заполнены параметрами. Параметризация однозначно задается числами которые выбираются пользователем. Мы также будем пользоваться величинами

называя вектор

мультииндексом, описанным в соответствии с Ясно, что

Таким образом, под мультииндексом понимается набор из чисел удовлетворяющих Для данных пир найдется у различных мультиипдексов.

Отметим, что независимо от значения структура содержит параметров.

Центральной особенностью канонической параметризации типа является возможность интерпретации соответствующего вектора состояния на языке входо-выходных соответствий. Действительно, фиксируем момент времени и предположим, что при Обозначим выходные сигналы модели при через Эти сигналы можно воспринимать как проекцию выходных сигналов системы на будущие времена рассчитанную в момент Уравнения в пространстве состояний выписываются непосредственно:

Если ввести обозначения

(-матрица наблюдаемости) и

то можно переписать в виде

Непосредственно проверяется, что обладает одним фундаментальным свойством: -матрица наблюдаемости включает строк, образующих независимо от 0, единичную матрицу. Читателю предлагается самостоятельно убедиться в том, что строка матрицы имеет вид

где 1 находится на месте. Это справедливо для

Таким образом, означает, что структуре соответствуют следующие переменные состояния:

Здесь верхним индексом обозначена компонента у. Такая интерпретация переменных состояния как предсказателей подробно рассматривалась в работах Акаике [6] и Риссанена [337]. В соответствии с формулой -вектора (формула извлекается строк. Индексы этих строк однозначно определяются мультииндексом Обозначили их как

Ключевым является соотношение Из этого соотношения следует, что переменные состояния определяются только входо-выходными характеристиками соответствующей модели.

Рассмотрим теперь два значения , которым соответствует одна и та же входо-выходная характеристика в Тогдаув так как эти оценки рассчитываются с использованием только входо-выходной информации. Отсюда Теперь, если в соответствует минимальной реализации, то ей же соответствует и 0, и по теореме, доказанной Кайлатом теорема 6.2.4) найдется такая обратимая матрица что

т. е. происходит замена базиса:

Однако в сочетании с ранее подмеченным равенством показывает, что и, следовательно, .

Доказана важная часть следующей теоремы.

Теорема Рассмотрим структуру модели в пространстве состояний Эта структура глобально и локально идентифицируема в точке в в том и только том случае, когда система управляема.

Доказательство. Достаточность уже доказана. Чтобы доказать необходимость, заметим, что если выбор значения 0 не приводит к управляемости системы, то ее входо-выходное поведение может быть описано моделью более низкой размерности с дополнительной произвольной неуправляемой моделью. Но такое описание возможно при бесконечно большом числе значений 0. Что и требовалось доказать.

Из этой теоремы следует, что параметризация глобально идентифицируема и поэтому может считаться неплохим вариантом описания систем порядка Однако все еще неясно, любые ли линейные системы порядка могут быть

представлены в форме при произвольном выборе мультииндекса . К поиску ответа на этот вопрос мы и перейдем.

Представление в форме матриц Ганкеля. Рассмотрим следующее описание многомерной системы

где

Допустим, что матрица имеет полный строчный ранг (т. е. не равен тождественно нулю для любого отличного от нуля -вектора Пусть

- импульсная реакция системы. Здесь матрицы имеют размер Определим матрицу

Матрицы такого вида, у которых вдоль антидиагоналей стоят одинаковые элементы, известны под названием блочных матриц Ганкеля. Рассмотрим полубесконечную матрицу Относительно этой матрицы имеют место два следующих фундаментальных результата.

Лемма Допустим, что строк (см. формулу (4А.29)) матрицы стягивают все строки матрицы Тогда систему можно представить модельной структурой в пространстве состояний соответствующей мультииндексу

Доказательство сводится к проведению прямых выкладок и приводится в конце этого приложения.

Лемма 4А.2. Допустим, что

Тогда найдется такой мультииндекс что строк стягивают

Доказательство этой леммы также вынесено в конец приложения.

Из этих двух лемм следует, что условие является достаточным для того, чтобы соотношение описывало -мерную линейную систему (т.е. допускала описание в пространстве состояний размерности Однако хорошо известно, что это условие является и необходимым. (Матрица К получается в результате перемножения матриц наблюдаемости и управляемости.) Отсюда следует вывод:

любая линейная система, которая может быть представлена в виде модели в пространстве состояний порядка может быть также представлена в частном виде при некотором значении мультииндекса

Таким образом, при выполнении найдутся пр строк матрицы на которые натянуто -мерное (или меньшей размерности) пространство. Характерно то,

это же пространство может быть натянуто на любое подмножество из строк матрицы . (Под этим мы понимаем, что если осуществляется случайная равновероятная выборка из генеральной совокупности -вектор-строк, на которые натянуто -мерное пространство, то с вероятностью 1 то же пространство будет натянуто на любое подмножество из векторов.) Отсюда находим:

представление в пространстве состояний вида для конкретного мультииндекса может быть описанием почти всех -мерных линейных систем.

Перекрывающиеся параметризации. Пусть обозначает модельную структуру соответствующую значению Тогда результат означает, что множество моделей

(объединение по всем значениям мультииндекса покрывает все линейные -мерные системы. Таким образом, мы можем описать множество всех линейных «-мерных систем как объединение областей идентифицируемых структур (сравните с Из следует, что области значений существенно перекрываются. Это не рождает помех для идентификации, напротив, становится возможным, не теряя информации переходить от одной структуры к другой. Практические приложения этих перекрывающихся параметризаций рассматриваются в [312]. В работе [94] топологическими методами найдены оценки необходимого в числа перекрывающихся структур, см. также [171].

Связь между матричными дробями и описаниями в пространстве состояний. В одномерном случае связь между моделью в пространстве состояний для исследования наблюдаемости и соответствующей -моделью тривиальная (см., пример 4.2). К сожалению, в многомерном случае ситуация значительно усложняется; см. [38,134,151].

Впрочем, сразу можно отметить тесную связь между значениями индексов из формулы и степенями столбцов в формуле Обе эти величины определяют такую явную характеристику модели, как число временных сдвигов компоненты у. Разница, однако, в том, что в пространстве состояний сдвиги прямые (во времени), а для дробно-матричных представлений — обратные. Взаимосвязь между и индексами наблюдаемости разнообразно продемонстрирована в доказательстве леммы

Практически различие между двумя способами представления заключается в том, что в пространстве состояний вектор состояния переменных) естественным образом используется как вектор ячеек памяти, предназначенной для моделирования и других целей. При непосредственном моделировании системы запоминаются взятые с различными сдвигами компоненты векторов у и и, общим числом пр переменных. Это безусловно не обязательный прием, однако обеспечение эффективности расчетов почти неизбежно приводит к тому, что запоминание организуется в варианте модели пространства состояний. Стало быть, для многомерных систем методология представления моделями в пространстве состояний имеет несколько достоинств.

Доказательства лемм Осталось доказать леммы

Доказательство леммы Пусть

Пусть также (сравните с (4А.20)- (4А.22))

и

Тогда из (4A.28) и (4A.29) следует, что

Введем следующую нумерацию строк в в формуле

Напомним, что к

Теперь конструируется -вектор у которого компонента совпадает с компонентой

Обратим теперь особое внимание на компоненты вектора в образовав из этих компонент вектор . Все они соответствуют строкам матрицы Однако по предположению леммы эта матрица натянута на вектор Следовательно,

для некоторой матрицы Теперь, как видно из некоторые из компонент вектора входят и в вектор Соответствующие строки матрицы будут состоять из единицы в первой позиции и нулей — в остальных. Короткое раздумье по поводу формул показывает, что матрица имеет в точности ту структуру, которая задается условиями Кроме того, для Я, удовлетворяющего условию

Следовательно,

Но первый член в правой части равен компоненте те Следовательно,

для некоторой матрицы Теперь уравнения образуют описание в пространстве состояний системы в рамках структуры и лемма доказана.

Доказательство леммы . Характеристической особенностью матрицы Ганкеля как частного случая является, то что при устранении первого блочного столбца (и последней блочной строки) или устранении первой блочной строки получается одна и та же матрица. Это означает, что если строка блочной строки к (т.е. строка принадлежит к линейной оболочке всех расположенных над ней строк, то тем же свойством обладает строка в блоке к

Допустим теперь, что

и попробуем, двигаясь сверху вниз, выделить в этой матрице множество линейно независимых строк. Таким образом, строки, не зависящие линейно от расположенных под ними, включаются в базис, остальные строки отбрасываются. По окончании процедуры мы имеем строк матрицы Сделанное выше замечание приводит нас к выводу о том, что если в базис включена строка с номером то в него входит и строка с номером . Следовательно, структура индексов отобранных строк будет такой:

для некоторых чисел известных под именем индексов наблюдаемости системы. Поскольку полное число отобранных строк равно то

Таким образом, номера отобранных строк соответствуют, как и в формуле мультииндексу и лемма доказана. Заметим, что несколько других значений мультииндексов могут образовывать строчный остов, вовсе не обязательно искать какой-то конкретный набор линейно независимых строк.