Приложение 2B. Доказательство теоремы 2.3

В этом дополнении мы докажем теорему 2.3 в более общей формулировке, что окажется важным при исследовании сходимости в главе 8. Кроме того, рассмотрение проводится для многомерного варианта.

Теорема Пусть равномерно устойчивое семейство фильтров и пусть семейство детерминированных сигналов удовлетворяет условию

Для каждого сигнал определяется соотношением

где удовлетворяет условиям теоремы 2.3 (см. (2.86) с условием, что Тогда

с вероятностью 1 при

Замечание. Отметим, что если размерность (множество состоит только из одного элемента), то из следует формула (2.87а). При

всевозможные взаимные произведения в позволяют получить все формулы (2.87).

Прежде чем доказать теорему установим две леммы.

Лемма Пусть удовлетворяет условиям теоремы 2.3 и пусть

Тогда для всех тип

Доказательство. Без потери общности можно положить Тогда имеем

где

Квадрат - элемента матрицы представляется в виде

где

Верхний индекс соответствует вектор-строке. Поскольку последовательность независимых случайных величин, математическое ожидание 7 равно 0 за исключением тех случаев, когда некоторые из индексов времени в совпадают, т.е. когда или или или При заданных такое может иметь место при максимум четырех значениях . В этом случае мы также имеем

Следовательно,

Это доказывает часть леммы. Доказательство аналогично, но проще. Следствие. Пусть

Тогда

Лемма Пусть

Тогда

Доказательство. Сначала заметим, что если

где такая последовательность детерминированных матриц, что

такая последовательность случайных векторов, что

тогда

В этой цепочке первое неравенство — это неравенство Шварца.

Теперь находим

Отсюда следует, что

где

Поскольку равномерно устойчивое семейство фильтров, можно утверждать, что

Используя и результат леммы из неравенства можно получить, что

что и доказывает лемму

Вернемся теперь к доказательству теоремы Обозначим

и пусть

где определяется формулой

В силу леммы

Применяя неравенство Чебышева, получим

Следовательно,

откуда в силу леммы Бореля-Кантелли (см. (1.18)) вытекает сходимость с вероятностью 1 1

Пусть для найдено значение

Отсюда

Поскольку то в силу первый член в правой части формулы стремится к 0 с вероятностью 1. Для второго члена, используя лемму находим

откуда, как и выше, в силу неравенства Чебышева и леммы Бореля-Кантелли следует, что второй член стремится к 0 с вероятностью 1. Таким образом,

с вероятностью 1 при что и доказывает теорему.

Следствие теоремы Если ослабить условие (2.86), заменив его на

то теорема останется верна (иначе говоря, процесс не обязан быть белым шумом, достаточно, чтобы он был разностно мартингальным).

Доказательство. Независимость использовалась только в лемме Нетрудно видеть, что эта лемма выполняется и при ослабленных условиях.