16.5. Подтверждение модели

Процедура оценивания параметров сводится к выбору наилучшей модели в пределах фиксированной модельной структуры. И наисуществеинейший вопрос заключается в том, достаточно ли хороша эта наилучшая модель. Это и есть задача подтверждения модели. Поставленный вопрос имеет несколько аспектов.

1. Достаточно ли согласуется модель с данными наблюдений?

2. Надколько хороша модель в свете цели ее создания?

3. Описывает ли модель истинную систему?

В общем случае (см. [58]) метод получения ответов на эти вопросы состоит в том, чтобы сопоставить с моделью всю практически полученную информацию об истинной системе. Сюда входит априорная информация, экспериментальные данные и опыт использования модели. В прикладных задачах идентификации наиболее естественным объектом для сопоставления с моделью являются сами данные. В результате процедура перекрестного подтверждения сосредоточивается, в основном, на поиске ответа на первый вопрос. В этом разделе мы перечислим ряд полезных приемов, предназначенных как для отбрасывания моделей, так и для повышения доверия к ним.

Перекрестное подтверждение по отношению к цели моделирования. Несмотря на интригующий характер третьего вопроса, в философском плане он не имеет ответа. Практически важен ответ на второй вопрос. Процесс создания модели всегда связан с попыткой достижения некоторой цели. Модель может предназначаться для решения задачи проектирования регулятора, предсказания или имитационного моделирования. Тогда основное подтверждение будет заключаться в том, чтобы убедиться в возможности использования полученной модели для решения той задачи, ради которого эта модель и строилась. Если основанный на моделях регулятор определяет удовлетворительное управление процессом, то модель оказывается обоснованной, независимо от того, как это может пониматься формально. Массовая проверка приемлемости всевозможных моделей по отношению к цели их создания оказывается задачей неразрешимой, требующей чрезмерных затрат и попросту опасной. Вместо этого используются другие способы повышения степени доверия к модели.

Реализуемость физических параметров. Естественной и важной процедурой подтверждения модельной структуры, параметризованной на основе физических

соображений, является сопоставление найденных оценок и оценок их дисперсий с априорно приемлемыми значениями физических параметров. На практике хорошо также оценить чувствительность входо-выходных характеристик к значениям этих параметров, чтобы убедиться в их практической идентифицируемости (это также должно отражаться на оценках дисперсий).

Состоятельность входо-выходных характеристик модели. При рассмотрении моделей черного ящика мы сосредоточимся на их входно-выходных свойствах. В линейном случае они обычно отображаются на диаграммах Боде. В случае нелинейных моделей соответствующие характеристики проверяются посредством имитационного моделирования (см. последующие подразделы). На практике всегда хорошо провести оценку и сравнение разных линейных моделей по диаграммам Боде с возможной заменой оценок дисперсий соответствующими доверительными интервалами для оценок . Особенно полезно сравнение спектрально-аналитических оценок (6.46) и графиков Боде для параметрических моделей, поскольку они формируются на базе достаточно разных систем предположений (т.е. разных модельных структур, см. задачу

Вообще говоря, когда истинная система не принадлежит к множеству моделей, характер полученной аппроксимации будет зависеть от условий эксперимента, используемых предварительных фильтров и структуры модели Таким образом, сравнение диаграммы Боде, полученной для разных структур и разных предварительных фильтров с применением ФОП-метода, метода инструментальных переменных и методов спектрального анализа, даст по-настоящему ощутить, какие из существенных особенностей динамики системы оказались схвачены.

Редукция модели. Одна из процедур проверки того, достаточно ли модель проста и насколько описание соответствует системе, заключается в применении некоторых методов редукции модели. Если можно, не меняя заметно входо-выходных свойств модели, понизить ее порядок, то исходная модель была неоправданно сложной. Эта идея применена Седерстремом [367] для взаимной компенсации полюсов и нулей.

Доверительные интервалы для параметров. Другая процедура проверки того, не содержит ли текущая модель слишком большого числа параметров, состоит в том, чтобы оценить величину соответствующих стандартных отклонений (см. раздел 9.6). Если значение нуль входит в доверительный интервал, то можно подумать над тем, не стоит ли этот параметр из модели исключить. Обычно этот прием представляет интерес только тогда, когда соответствующий параметр отражает физическую характеристику системы тина порядка модели или временной задержки. Если все оценки стандартных отклонений велики, то информационная матрица является почти вырожденной. Это также свидетельствует о слишком большой величине порядков модели (см. раздел 16.3).

Имитационное моделирование. При подтверждении пригодности модели для решения задачи имитационного моделирования широко применяется процедура сравнения выходного сигнала модели, на вход котор подается фактический входной сигнал реальной системы, и наблюдаемого на выходе системы выходного сигнала. Для общей модели (5.33) смоделированный выходной сигнал ум порождается соотношениями:

(не путайте они совпадают только для модели выходной ошибки).

Рис. 16.2. Измеряемые значения температуры у (сплошная линия) и предсказанные но линейной модели с опережением на один шаг значения температуры (штриховая линия)

Рис. 16.3. Измеряемые значения температуры у (сплошная линия) и имитированные на линейной модели (5.13) значения температуры (штриховая линия)

Рис. 16.4. То же, что на рис. 16.3, но для нелинейной модели (5-17) и (5.18)

Теперь качество модели можно оценить путем сравнения ум либо непосредственно на графике (визуально), либо вводя некоторую формальную меру расстояния между сигналами. Такое сравнение предпочтительнее проводить на основе новой информации, отличной от того множества данных, которое использовалось в процессе оценивания (перекрестное подтверждение).

Пример 16.2. Моделирование дома с солнечным подогревом.

Рассмотрим дом с солнечным подогревом, описанный в примерах 1.1 и 5.1. Отрезки реализаций были показаны на рис. 1.4. Сначала с использованием метода наименьших квадратов была проведена подгонка к данным линейной модепи. Это дало следующий результат:

На рис. 16.2 предсказанное значение выходного сигнала сравнивается с наблюдаемым значением выходного сигнала а на рис. сравнивается с имитацией выходного сигнала ум которая рассчитывается с использованием формул (16.48) и (16.49). Ясно, что модель не очень хорошая. Она не отражает существенных особенностей процесса изменения температуры. Эго проще разглядеть на рис. 16.3, чем на рис. 16.2.

Согласование с теми же данными нелинейной модельной структуры (5.17) и (5.18) даег

а результаты сравнения между собой наблюдаемой и смоделированной реализаций выходного сигнала приведены на рис. 16.4. Эта модель определяет приемлемое описание системы. Нели интенсивность солнечной радиации и скорость поддува в течение суток нам известны, то можно предсказать температуру теплового аккумулятора со средней точностью до Этого достаточно, чтобы дать оценку стратегий управления и произвести расчет свойств термонагрева и тепло сбережения для достаточно больших временных интервалов.

Подтверждение модели в терминах невязок. Конкретный способ расчета прогноза может опираться на какие-то гипотезы о характере возбуждающих шумов и тому подобные предположения. В гл. 4 мы обсуждали различные оправдания использованию конкретных предсказателей. Если уж некоторая модель выбрана и имеется множество данных то можно проверить алиби модели, произведя расчет получающихся ошибок предсказанияд

Это означает, что в соответствии с выбором источником данных предполагается уравнение типа (7.74):

где обладает свойствами взаимной независимости и независимости от прошлых данных» отмеченными в (7.69). По отношению к этим данным вопрос о подтверждении модели ставится как вопрос о правдоподобии вывода о том, что реализация данных действительно может быть порождена соотношением (16.50). Это эквивалентно утверждению, что последовательность

вероятно, представляет собой последовательность независимых между собой случайных величин с плотностью вероятности

К поиску ответа на вопрос, поставленный проверкой выполнимости соотношения можно подойти используя статистические методы разной степени сложности. Можно построить график ошибок предсказания и решить вопрос (16.51) на основе визуальной инспекции. Известны также несколько статистических критериев проверки белизны невязок. Стандартный критерий белизны сводится к вычислению оценки ковариации

где Если последовательность действительно белый шум, то

будет в асимптотике иметь распределение (см. задачу Тогда факт взаимной независимости невязок может быть подтвержден выполнением неравенства где уровень значимости распределения

Независимость невязок от прошлых данных. Невязки будут (почти) белым шумом, если модель

находится в хорошем согласии с истинной системой

Часто более важна не корректность всей модели, а точность описания динамической части системы с помощью модельной оценки Особенно, если используются метод выходной ошибки или метод инструментальных переменных. Тогда интересно знать, зависит ли от прошлых данных о входном сигнале. Если такой зависимости нет, то выходной сигнал определяется динамическим преобразованием входного сигнала в большей степени, чем полной записью текущей модели. Независимость между и обычно проверяется на основе расчета выборочных ковариаций

Если

со стандартными обозначениями к), см задачу Если -квантиль распределения , то это можно было бы подтвердить, проверив выполнением неравенства

Если это неравенство не выполнено, то гипотезу о взаимной независимости в следует отвергнуть. Наглядным способом проверки является построение графика зависимости от Поскольку величина из формулы (16.55) не зависит от то доверительные границы будут горизонтальными линиями. Построение такого графика определяет значимое ощущение корректности выбранной структуры модели. См. рис. 17.4 и 17.6. Если, например, истинное запаздывание между выборочными значениями двух последовательностей равно 1, по, как неизвестная, эта величина является параметром модели, то при проверке будет обнаружена очевидная корреляция между При изучении графиков нужно иметь в виду следующее:

1. Наличие корреляций между значениями при отрицательных не свидетельствует об ущербности модели, а означает наличие обратной связи от выхода ко входу.

2. При использовании метода наименьших квадратов оценка определяется так, чтобы величины были некоррелированы с регрессором. Отсюда для модельной структуры (4.7) равенства для оказываются выполненными автоматически.

Независимость между может быть измерена в других величинах. Наличие неучтенных в модели нелинейных эффектов можно, например, заметить по диаграммам рассеивания пар См., в частности, гл. 3 в книге Дрейпера и Смита [101], а также книги Кука и Уисберга [84] и Энскомба и Тьюки [18], где содержится подробное изложение вопросов статистической проверки невязок.

Если для построения модели передаточной функции

используется спектральный анализ, то мы получаем картину того, в каких частотных диапазонах модель не отражает особенностей входо-выходного соответствия. Причем, если ошибки возникают в неопасных для предполагаемого использования модели частотных диапазонах, то модель можно было бы принять даже при невыполнении (16.56).

Критическая оценка данных. Подстановка в функцию влияния (15.12) значений невязок позволит нам также определить, какие из точечных данных наибольшим образом влияют на оценки. Оценка надежности этих точек должна быть включена в процедуру подтверждения модели. Во всех практических случаях хорошим способом контроля наличия выбросов и плохой информации в множестве данных является построение графиков