Часть II. МЕТОДЫ

Глава 6. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ВРЕМЕННЫЕ И ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ

В гл. 4 отмечалось, что линейная стационарная модель может быть описана своими передаточными функциями и соответствующими импульсными реакциями. Здесь мы обсудим прямые методы определения этих функций без первоначального выделения ограниченною множества возможных моделей. Такие методы часто также называют не параметрически поскольку они не используют (явно) конечномерного вектора параметров при поиске наилучшего описания. Будут обсуждены способы определения передаточной функции от входа к выходу. Раздел 6.1 посвящен методам во временной области, а разделы 6.2-6.4 содержат описание частотных методов с различной степенью сложности. Определение или спектра возмущения обсуждается в разделе 6.5.

Следует отметить, что в данной главе система предполагается разомкнутой (т.е. независимы). Типичные проблемы применения непараметрических методов к замкнутым конфигурациям в общих чертах онисаны в некоторых задачах. Более детально эти вопросы обсуждаются в гл. 14.

6.1. Анализ переходных процессов и корреляционный анализ

Анализ импульсной реакции. Если к системе, описываемой соотношением (2.8)

приложить имнульсное воздействие

то выходная переменная но определению и импульсной переходной функции будет равна

При низком уровне шума можно, таким образом, определить коэффициенты импульсной реакции из эксперимента с импульсным входным воздействием. Оценки будут равны

а ошибки Эта простая идея и составляет суть анализа импульсной реакции.

Ее основной недостаток заключается в том, что многие физические процессы не допускают импульсных входов такой амплитуды, при которой ошибка пренебрежимо мала по сравнению с коэффициентами импульсной реакции. Более того, при таком входе система может проявить нелинейные эффекты, нарушающие линеаризованное поведение, положенное в основу модели.

Реакция на ступенчатое воздействие. Аналогично, ступенчатое входное воздействие

приложенное к системе (6.1), приводит к значению выходной переменной

Отсюда можно получить оценки величин вида

с ошибкой Если определение коэффициентов импульсной реакции действительно является целью, использование (6.6) может сопровождаться значительными ошибками в большинстве практических приложений. Однако, если цель заключается в нахождении значений некоторых относящихся к управлению характеристик, таких как временная задержка, статический коэффициент усиления и доминирующие постоянные времени (в модели (4.47)), реакции на ступенчатое воздействие (6.5) могут предоставить достаточную для обеспечения удовлетворительной степени точности информацию. Фактически, хорошо известные правила настройки простых регуляторов тина правила Зиглера-Никольса [455] основаны на обработке информации, содержащейся в реакциях на ступенчатые воздействия.

На основе графического представления реакций на ступенчатое воздействие можно вычислить некоторые характеристические числа, которые в свою очередь могут быть использованы для определения параметров модели заданного порядка. Обсуждение таких характеристик содержится в работе Раке [334].

Корреляционный анализ. Рассмотрим описание модели (6.1):

Если входное воздействие является квазистационарной последовательностью (см. с

и

то согласно теореме 2.2 (сформулированной во временной области)

В частности, если входное воздействие представляет собой белый шум с

то

Таким образом, оценка импульсной переходной функции может быть получена из оценки например, вида

В обшем случае, когда входное воздействие не является белым шумом, можно использовать оценку

и решить уравнение

относительно Нели есть свобода в выборе входного воздействия, желательно, конечно же, выбрать его так, чтобы упростить решение уравнений (6.10) и (6.11). Оборудование для генерации таких сигналов и определения коммерчески доступно. Более детальное описание содержится в [136].