13.3. Некоторые решения формальных задач проектирования

Вернемся теперь к формально поставленной задаче проектирования (12.31), рассматривая частный случай

Заметим, что к этой критериальной матрице приводят прикладные задачи моделирования (12.12) и управления (12.23). Используя (13.11), можно переписать (12.31) в виде

Остановимся на варианте разомкнутого контура

когда модель шума задается единственным образом в виде

На этапе идентификации модель шума фиксирована, однако возможность ее выбора по-прежнему входит в число проектных переменных (ее, например, можно было бы рассматривать как в методе идентификации по выходной ошибке, когда требуется определить предварительный фильтр). Таким образом, имеем

С учетом (13.13) и (13.14) формула (13.1) приобретает вид

(см. (8.68)). В результате мы получаем задачу минимизации (13.12) с функцией определенной соотношениями (13.15) и (13.16). Эта задача может быть решена в явном виде.

Теорема 13.1. Рассмотрим оптимизационную задачу (13.2), в которой задается формулами (13.15) и (13.16). Минимум достигается при любом таком, что

при условии, что для некоторого положительного скалярного числа существует допустимое проектное решение.

Прежде чем перейти к доказательству, отметим, что теорема утверждает необходимость существования пропорции между отношением сигнал/шум модели и критериальной весовой функцией и возможность достижения этой пропорции посредством либо входного проектирования, либо выбором предварительного фильтра/модели шума. Наброски некоторых обобщений этой теоремы сформулированы в задачах Отметим, в частности, что для случая (13.11) работа в разомкнутом контуре, действительно, оптимальна. Это означает, что включение в число проектных переменных (13.15) приводит к оптимальному решению: и условие (13.17).

Доказательство теоремы 13.1. Сначала доказывается следующая лемма.

Лемма 13.1. Пусть скалярнозначная функция от двух переменных, принимающих значения в некотором общем гильбертовом пространстве. Пусть для фиксированного у

а для фиксированного z

в предположении, что соответствующие минимизирующие значения определены однозначно. Тогда

Доказательство. В силу определения (13.18)

Отсюда

По определению из (13.19) следует, что

Неравенства (13.21) и (13.22) вместе означают, что

откуда следует (13.20), так как отображение х по предположению инъективно (это вытекает из требования однозначности минимума в

Замечание. Предположение единственности в (13.19) может быть ослаблено посредством введения множества

Тогда вместо (13.20) будет фигурировать утверждение

что для наших целей достаточно.

Возвращаясь к задаче (13.12), введем в рассмотрение функцию

и определим

Тогда из (13.16) имеем

Поскольку предельная оценка в зависит только от отношений функций от

зэдача оптимального проектирования (13.12) оказывается по существу задачей определения оптимального к:

Применяя лемму 13.1 к формуле (13.26) находим, что

где положительное скалярное число такое, что проект является допустимым:

(это следует из того, что масштабирование по к не влияет на решение задачи Это завершает доказательство теоремы 13.1.