Приложение 9А. Доказательство теоремы 9.1

В этом приложении будет использована техника доказательства асимптотической нормальности, которая очень полезна в задачах с сигналами рассматриваемого здесь тина. Идея состоит в расщеплении суммы (9.8) на две части, одна из которых удовлетворяет определенному условию независимости (М-зависимости) между ее членами, а вторая достаточно мала. Исследование этих частей основано на использовании следующих двух лемм.

Лемма . Рассмотрим сумму случайных величин с двойной индексацией:

где

Допустим, что

независимы при где целое число,

и что

Положим

Тогда

Доказательство. См. [311] или [347]. Заметим, что (условие Ляпунова) обеспечивает выполнение условия Линдеберга, которое используется в указанных ссылках. Последовательность удовлетворяющая называется -зависимой.

Лемма 9А.2 ([99,13]).Пусть

причем

Тогда

Доказательство см. в [99] и [13].

Перейдем теперь к доказательству теоремы 9.1. Пишем для краткости и полагаем

Тогда в соответствии с (9.6) и (9.7)

Из (8.19)

Аналогично

Здесь

благодаря условию равномерной устойчивости. Положим теперь

Определим аналогичным образом Имеем

где

Применяем лемму Сначала показываем асимптотическую нормальность с помощью леммы Члены очевидно, имеют нулевые средние значения и -зависимы по построению. Таким образом, условия леммы удовлетворяются. Для находим, что

где последнее неравенство следует из того факта, что конечные суммы случайных величин с ограниченными моментами порядка Выражение доказывает как так и Таким образом, для

из леммы следует, что

Рассмотрим член Положим

Из следствия к лемме имеем

где

и

Аналогичная оценка имеет место для других членов Следовательно,

откуда получаем сходимость к нулю при поскольку ряд из 0 сходится. Теперь, по лемме асимптотическое распределение в пределе по задается выражением Значит,

Поскольку асимптотические распределения совпадают, поэтому

Аналогично, из и

следует

Это завершает доказательство соотношений (9.8) и (9.9). Осталось только проверить (9.4). Имеем

Так как множество моделей и система равномерно устойчивы, находим, как в (8.19) и (8.20), что формируются посредством преобразования белого шума равномерно устойчивыми фильтрами. Следовательно, как и в лемме 8.2, из теоремы получаем

Отсюда, поскольку ,

если принадлежит окрестности 0 радиуса (Техническое замечание: применение тейлоровского разложения в (9.3) в действительности может привести к различным в разных компонентах этого векторного выражения. Однако на результате это не сказывается.)

Теперь

и (9A.29) вместе с завершают доказательство теоремы 9.1.

Замечание. Если 6 принадлежит границе равенство (9.3) не применимо. Однако, как следует из вероятность этого события убывает достаточно быстро и не влияет на асимптотическое распределение.