2.5. Многомерные системы

До сих пор мы работали с системами, имеющими скалярный вход и скалярный выход. В этом разделе мы рассмотрим случай, когда выходной сигнал состоит из компонент, а входной сигнал из компонент. Такие системы называются многомерными. Все дополнительные действия, связанные с использованием моделей многомерных систем, могут быть разбиты на две части.

1. Простая часть: в основном смена обозначений, введение операции транспонирования, замены некоторых скаляров матрицами, которые могут оказаться некоммутируемыми.

2. Сложная часть модели со многими выходами имеют гораздо более сложную внутреннюю структуру, вследствие чего их параметризация нетривиальна. См. Приложение (это не характерно для моделей с несколькими входами и одним выходом).

Объединим компонент выходного сигнала в -мерный вектор-столбец аналогично введем -мерный входной вектор Пусть возмущение также представляет собой -мерный вектор-столбец. В этом случае базовая система уравнений выглядит так же, как и уравнение (2.20):

где матрица передаточных функций размера матрица размера Иначе говоря, элемент матрицы обозначаемый как представляет собой скалярную передаточную функцию от входа под номером к выходу под номером Последовательность последовательность независимых случайных р-мерных векторов с нулевыми средними и ковариационными матрицами

Теперь при правильной матричной интерпретации работают все результаты этой главы. Отметим, в частности, следующее:

1. Импульсные реакции становятся -матрицами соответственно с заменой абсолютного значения в определении устойчивости на норму

2. Определения ковариаций (со ссылкой на (2.59)) приобретают вид

Теперь это матрицы, нормы которых определяются по формуле (2.89).

3. Определения спектров остаются неизменными, но формула (2.80) из следствия теоремы 2.2 теперь должна читаться как

Отметим, что спектры векторных сигналов неявно определяют и взаимные спектры между компонентами сигнала. См. также задачу 2G.3.

4. Утверждение о спектральной факторизации имеет теперь следующую формулировку. Допустим, что есть -матрица, которая для всех со является положительно определенной, а ее элементы - рациональные функции от или Тогда найдется моническая матричная функция размера элементы которой являются рациональными функциями от и такая, что (рациональная) функция не имеет полюсов и нулей на и вне единичного круга. (Доказательство можно найти в теореме 10.1 из работы [348].)

5. Формулировка теоремы 2.3 остается без изменений (доказательство многомерного аналога теоремы 2.3 приводится в Приложении