9.4. Выражения асимптотической дисперсии в частотной области

Дисперсия при . В предыдущем разделе была найдена асимптотическая дисперсия (9.17) при Ее можно выразить в таблицах функций частоты, если применить равенство Парсеваля (или теорему 2.2). Сначала необходимо получить выражение для .

Получая градиент имеем из и (4.121)

При в используя получаем

где определяется выражением (8.14). Пусть спектр -матрица):

Здесь взаимный спектр между входным сигналом и обновлениями (которые тождественно равны нулю, если система работает в режиме разомкнутой цепи обратной связи).

Из теоремы 2.2 и равенства Парсеваля имеем

Теперь, используя выражение

для спектра шума находим, что

в предположении, что и используется квадратичный критерий. Напомним определение (4.121).

Дисперсия при Аналогичными вычислениями выражение (942) может быть представлено в частотной области. Получаем

Дисперсия оценок передаточной функции при прямой параметризации. Во многих случаях оценки параметров не представляют непосредственный интерес: они лишыюдразумевают определенное описание оценки передаточной функции. Этот подход был назван в гл. 4 моделированием черного ящика. Тогда более естественно оценивать свойства модели в терминах нежели в терминах Рассмотрим теперь эту проблему» начав с изучения конкретного вида параметризации которой представляется кусочно постоянной функцией частоты.

Положим

и

где Значения для отрицательных определяются комплексным сопряжением. Таким образом, функции частоты параметризованы как кусочно постоянные функции.

Допустим теперь, тогда можно применить выражение (9-54). Находим, что для градиент Т (см. (4.121)) равен

где

Для отрицательных значений со матрица определяется комплексным сопряжением. Следовательно, используя (9.54),

где блочно-диагональная матрица с -блоками вдоль диагонали. Ее диагональные блоки суть -матрицы

Если подынтегральная функция является гладкой и/или велико, имеем приближенно

Следовательно, из (9.56) и (9.58)

Более того, оценки для частот, принадлежащих различным интервалам (9.56), являютя некоррелированными.

По определению (1.13) ковариаций комплексно-значных случайных величин находим, что

Капомним выражение (9.52) для Здесь можно трактовать как порядок модели (т. е. число параметров, используемых для описания каждой передаточной функции).

Выражение (9.62) говорит о том, что асимптотическая ковариация передаточной функции на каждой частоте определяется отношением сигнал/шум на этой частоте ( - шум, сигнал), умноженным на отношение порядка модели к числу данных. Если система работает в режиме разомкнутой цепи обратной связи, то диагональная матрица, и

с некоррелированными и

Асимптотическая теория черного ящика. Результат (9.62) дня конкретной параметризации (9.56) наводит на определенные рассуждения. Поскольку он касается входо-выходной величины чевидно, что результат будет инвариантен при замене параметризации; это означает, что другая параметризация которая может быть поставлена во взаимнооднозначное соответствие с (9.56), приведет к асимптотическому выражению (9.62). Далее, различные виды параметризации типа черного ящика для линейных моделей такие, как рассмотренные в разделе 4.2, в действительности равносильны определению на различных частотах; при общей структуре модели порядка для можно всегда выбрать таким, чтобы имела предписанные значения на заданных частотах Конечно, не будет в точности постоянной между этими частотами, следовательно, у нас нет формального сведения параметризации к (9.56). Однако при возрастании это должно становиться менее важным. Перечисленные аргументы наводят, таким образом, на мысль, что результат (9.62) справедлив также для общих способов параметризации типа черный ящик:

асимптотика для больших и больших порядок модели, число данных.

Наши доводы были, конечно же, эвристическими, однако, используя несколько иной подход, результат (9.64) для общей структуры черного ящика (4,33) можно обосновать формально. Доказательство см. в [252]. Можно подчеркнуть, что при работе системы в режиме разомкнутой цепи обратной связи оценки и асимптотически некоррелированные, даже при наличии общих параметров.

В части III будет показано, что (9.64) имеет широкое применение во многих вопросах планирования эксперимента. Интересно поэтому проверить, насколько хорошо (9.64) соответствует точному выражению для не слишком больших значений

Пример 9.4. Сравнение (9.64) с точными выражениями для конечных

Рассмотрим систему второго порядка

Предположим, что эта система идентифицируется методом наименьших квадратов с использованием модели следующей структуры:

Рис. 9.1. Графики зависимости от из для различных систем, моделей и входных сигналов. Число отмечено на рисунках, означает система: (3.65), (9.68); модель: (9.66); входной сигнал: белый шум; система модель входной сигнал: белый шум; с) система модель (9.66); входной сигнал: белый шум; система модель (9.66); входной сигнал: белый шум; е) система (9.65), (9.68); модель: входной сигнал: белый шум; система (9.65), (9.68); модель: (9.69); входной сигнал: (9 70)

В качестве входного сигнала выбирается белый шум с дисперсией 1, и возмущение действующее на систему (9.65), также предполагается белошумным с единичной дисперсией.

Пусть оценка передаточной функции, полученная для модели порядка. Поскольку истинная система (9.65) второго порядка, можно использовать (9.17) для оценивания в соотношении

для Это соотношение дает явное, но сложное выражение для , которое является точным но асимптотическим по . В соответствии с (9.64) имеем асимптотически по

Итак, сравним, насколько хорошо приближает Сделаем это с помощью графиков зависимости от Сначала рассмотрим систему Острема:

На рис. 9.1, а изображены графики зависимости для от Рисунок ясно показывает сходимость к пределу при возрастании Можно сказать, что сходимость довольно медленная. Более важно, однако, что даже для малых предельное выражение дает хорошее представление о точной зависимости дисперсии от частоты. Для проверки этого проводилось оценивание выражения для ряда систем второго порядка с различными характеристиками. Результаты показаны на рисунках

В соответствии с асимптотическим выражением (9.64), дисперсия не должна зависеть от числа оцениваемых параметров, а определяется только порядком модели. Это несколько удивительный результат. Чтобы проверить, имеет ли место этот результат и для моделей малого порядка, была проведена идентификация системы (9.65), (9.68) моделью АRМАХ-структуры

которая использует на 50% больше параметров, чем том же порядке модели. На рис. показана дисперсия передаточной функции, оцененная при моделями структуры (9.65) и (9.69) соответственно. Совпадение поразительное.

Наконец, была проведена идентификация системы (9.65), (9.68) моделью ARMАХ-структуры (9.69) при и 8 для низкочастотного входного сигнала со спектром

Результаты показаны на рис. Сравнивая с рис. 9.1а, видим, что теперь согласованность асимптотического и точного выражений ухудшилась, особенно на низких частотах.