Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2.2. Частотные формулыСинусоидальный отклик и частотная характеристика. Представим себе, что на вход системы (2.6) поступает гармонический сигнал
Этот сигнал удобно представить в виде
где выходной сигнал можно записать как
где
В этой цепочке второе равенство следует из вещественности чисел В (2.33) предполагается, что входной сигнал являлся косинусоидой в сколь угодно далеком прошлом. Если
Этот член мажорируется величиной
и, следовательно, имеет характер переходного процесса (стремится к 0 при В любом случае из (2.33) следует, что выходной сигнал, определяемый формулой (2.32), также окажется косинусоидальным сигналом той же частоты, амплитуды, усиленной в
равная значению передаточной функции в точке
называют частотной характеристикой системы (2.6). В качестве графического представления этой характеристики принято использовать графики зависимостей Периодограммы сигналов над конечными интервалами. Рассмотрим конечную последовательность значений входного сигнала и
Последовательность значений этой функции в точках соотношение
Для доказательства подставим (2.37) в правую часть (2.38) и получим
Здесь использовано соотношение
Из (2.37) видно, что функция
А поскольку сигнал
где черта сверху обозначает взятие комплексно-сопряженного числа. Таким образом, функция
В формуле (2.42) и следующих за ней В формуле (2.42) сигнал Число
известна под названием периодограммы сигнала и Равенство Парссваля
является еще одним свидетельством в пользу правильности утверждения об аддитивности энергии сигнала по разночастотным составляющим. Обратите внимание на аналогию со спектральным разложением света. Пример 2.1. Периодограмма синусоиды. Пусть
где
получим
Используя (2.39), находим
Периодограмма в интервале Пример 2.2. Периодограмма периодического сигнала. Допустим, что
где
Поскольку сигнал и периодический, формула (2.47) применима во всем интервале
В примерах 2.1 и 2.2 периодограммы оказались хорошими. Обычно, когда сигналы являются реализациями случайных процессов, периодограммы описываются очень нестабильными функциями частоты. См. рис. 2.8 и лемму 6.2. Преобразования периодограмм. После пропускания сигнала через линейный фильтр его периодограмма меняется. Покажем теперь, какое влияние оказывает линейная фильтрация на преобразование Фурье сигнала. Отсюда сразу станет ясно, как преобразуются соответствующие периодограммы. Теорема 2.1. Пусть сигналы
Для
Тогда
где
а
Доказательство. По определению имеем
Тогда
Отсюда вытекает, что
что и доказывает выполнение соотношений Следствие. Пусть сигнал Доказател ьство. Левая часть формулы (2.56) равно 0 для периодической функции
|
1 |
Оглавление
|