2.2. Частотные формулы

Синусоидальный отклик и частотная характеристика. Представим себе, что на вход системы (2.6) поступает гармонический сигнал

Этот сигнал удобно представить в виде

где обозначает вещественную часть числа. В силу (2.6) соответствующий

выходной сигнал можно записать как

где

В этой цепочке второе равенство следует из вещественности чисел а четвертое равенство — из определений (2.16) или (2.17). Пятое равенство вытекает непосредственно из свойств комплексных чисел.

В (2.33) предполагается, что входной сигнал являлся косинусоидой в сколь угодно далеком прошлом. Если при то в (2.33) появляется дополнительный член

Этот член мажорируется величиной

и, следовательно, имеет характер переходного процесса (стремится к 0 при стремящемся к бесконечности) при условии, что устойчива.

В любом случае из (2.33) следует, что выходной сигнал, определяемый формулой (2.32), также окажется косинусоидальным сигналом той же частоты, амплитуды, усиленной в раз, и фазовым сдвигом, равным радиан. Отсюда следует, что комплексная величина

равная значению передаточной функции в точке полностью характеризует поведение системы в стационарном режиме при синусоидальном входном сигнале частоты Поэтому комплекснозначную функцию

называют частотной характеристикой системы (2.6). В качестве графического представления этой характеристики принято использовать графики зависимостей от Такое представление называют диаграммой Боде. Годограф (2.36) на комплексной плотности называется диаграммой Найквиста. Эти конструкции, по-видимому, более известны для непрерывного случая, но все их основные свойства переносятся и на случай выборочных данных.

Периодограммы сигналов над конечными интервалами. Рассмотрим конечную последовательность значений входного сигнала и Определим функцию

Последовательность значений этой функции в точках представляет собой известное дискретное преобразование Фурье (ДПФ) последовательности Сигнал и можно представить через обратное ДПФ, используя

соотношение

Для доказательства подставим (2.37) в правую часть (2.38) и получим

Здесь использовано соотношение

Из (2.37) видно, что функция имеет период

А поскольку сигнал является вещественным,

где черта сверху обозначает взятие комплексно-сопряженного числа. Таким образом, функция полностью определяется своими значениями в интервале Тем не менее, принято рассматривать функцию в интервале , поэтому используя формулу (2.40) и периодичность функции формулу (2.38) часто записывают в виде

В формуле (2.42) и следующих за ней считается четным, для нечетного можно выписать аналогичные пределы суммирования.

В формуле (2.42) сигнал представляется в виде линейной комбинации экспонент разных частот Как показано в задаче посредством последующих преобразований этот сигнал можно представить в виде суммы с теми же частотами, избавившись от комплексных чисел.

Число характеризует вес компоненты с частотой в разложении сигнала Квадрат модуля этого числа является мерой энергетического вклада соответствующей частотной компоненты в суммарное действие сигнала. Эта величина

известна под названием периодограммы сигнала и

Равенство Парссваля

является еще одним свидетельством в пользу правильности утверждения об аддитивности энергии сигнала по разночастотным составляющим. Обратите внимание на аналогию со спектральным разложением света.

Пример 2.1. Периодограмма синусоиды.

Пусть

где для некоторого целого числа Рассмотрим интервал где кратно Записывая

получим

Используя (2.39), находим

Периодограмма в интервале имеет два всплеска.

Пример 2.2. Периодограмма периодического сигнала.

Допустим, что и рассмотрим сигнал в интервале . В силу (2.42) сигнал в интервале можно записать в виде

где

Поскольку сигнал и периодический, формула (2.47) применима во всем интервале Отсюда сигнал представляется в виде суммы синусоид и, используя результаты предыдущего примера (или путем непосредственных вычислений), можно показать, что

В примерах 2.1 и 2.2 периодограммы оказались хорошими. Обычно, когда сигналы являются реализациями случайных процессов, периодограммы описываются очень нестабильными функциями частоты. См. рис. 2.8 и лемму 6.2.

Преобразования периодограмм. После пропускания сигнала через линейный фильтр его периодограмма меняется. Покажем теперь, какое влияние оказывает линейная фильтрация на преобразование Фурье сигнала. Отсюда сразу станет ясно, как преобразуются соответствующие периодограммы.

Теорема 2.1. Пусть сигналы разделяет строго устойчивая система

Для входной сигнал неизвестен, но удовлетворяет неравенству

справедливому при всех Пусть

Тогда

где

а

Доказательство. По определению имеем

Тогда

Отсюда вытекает, что

что и доказывает выполнение соотношений

Следствие. Пусть сигнал имеет период Тогда из формулы (2.53) равна 0 при

Доказател ьство. Левая часть формулы (2.56) равно 0 для периодической функции в точках