5.4. Формальная характеризация моделей

В этом разделе мы повторим рассуждения, проведенные в разделе 4.5, но для общего случая нелинейных моделей с возможной нестационарностью. Предполагается, что выходной сигнал системы является -вектором, а входной сигнал — -вектором. Как и раньше, обозначает входо-выходные данные до момента включительно.

Модели. Моделью динамической системы называется последовательность функций действующих из в и отображающих способ угадывания или предсказания выходного сигнала по прошлым данным:

Модель, которая определяет только функцию предсказания, называется моделью предсказания. Если (5.28) дополнить условной (при заданном плотностью вероятности (УПВ) соответствующих ошибок предсказания

то модель называют полной вероятностной моделью. При моделировании обычным является предположение о взаимной независимости ошибок предсказания. Тогда не зависит от

Иногда может оказаться предпочтительным не определять полную модель в виде плотности вероятности, а ограничиться только вторым моментом (матрицей

ковариации):

Модель (5.28) вместе с (5.31) называется частичной вероятностной моделью.

Далее модели можно классифицировать, используя следующие их свойства.

1. Линейность. Модель называется линейной, если линейная функция от

2. Стационарность. Модель называется стационарной, если функция не меняется при сдвигах абсолютного времени. Если при этом определены или то нужно, чтобы они не зависели от

3. k-шаговость. Модель называется k-шаговым предсказателем (вперед) если является функцией только от

4. Имитационность. Модель называется имитационной моделью или моделью выходной ошибки, если является функцией только от и

По аналогии с линейным случаем можно было бы определить устойчивость предсказателя и равенство между собой разных моделей (см. (4.113)). Однако мы здесь от подобного исследования воздержимся.

Множества моделей и модельные структуры. Множества моделей как и модельные структуры представляют собой дифференцируемые отображения:

или , если нужно) из подмножеств пространства в множестве моделей и могут быть определены с использованием формулировок, аналогичных приведенным в определении 4.3. Если определено равенство между моделями, то, как и в разделе 4.5, можно развить методологию исследования идентифицируемости.

Будем говорить, что модельная структура является линейной регрессией, если и функция предсказания — линейная (или аффинная) функция от 0:

Другая точка зрения на модели. Толкование моделей как предсказателей отражает прагматический подход к интерпретации понятия модели. Можно занять и более абстрактную позицию.

В качестве пользователей мы взаимодействуем с системой только через последовательности входо-выходных данных Следовательно, любое предположение о свойствах системы будет предположением о Итак, мы могли бы сказать, что:

Нередко эксперименты с системой не могут быть воспроизведены стопроцентно точно. Для данной входной последовательности из-за присутствия различных помех мы можем получить в разных экспериментах разные выходные последовательности В этом случае естественно считать случайной величиной, различные реализации которой мы наблюдаем. Тогда моделью системы станет описание вероятностных свойств (или, быть может, при заданном Эту модель можно было бы выразить через вероятностную меру или плотность вероятности

величины

То есть

Иногда удобно считать входной сигнал детерминированной последовательностью, фокусируя внимание на условной плотности вероятности у при заданном и:

Обычно модели типа (5.36) или (5.38) достаточно громоздки как в работе, так и в построении, и более предпочтительными оказываются другие более косвенные приемы формирования . В самом деле, стохастические модели из разделов 4.2 и 4.3 представляют собой неявное описание функций плотности вероятности для наблюдаемых сигналов. Введение ненаблюдаемых случайных помех и т.д. не только является удобным приемом для описания вероятностных свойств наблюдаемого сигнала, но часто соответствует интуитивному представлению о способе генерации выходного сигнала. Однако стоит подчеркнуть, что смысл введения таких ненаблюдаемых помех только в том, чтобы определить плотность вероятности наблюдаемых сигналов.

Гипотетическая плотность вероятности из (5.36) в некотором смысле является наиболее общей моделью наблюдаемых записей данных Детерминированные модели входят в нее как частный случай. Она также соответствует общему случаю статистической постановки задачи об описании свойств наблюдаемого вектора данных. Однако для наших целей эта модель не является достаточно структуризованной. В записи (5.36) отсутствует указание о естественном направлении хода времени в реализации данных и о причинно-следственных связях.

При заданной из (5.36) можно, по крайней мере принципиально, произвести расчет условного среднего при заданных т. е.

и распределения вероятностей назовем его . По (5.36) можно рассчитать модель (5.28) и условную плотность из (5.29). Обратно, по заданной функции предсказания и предполагаемой плотности вероятности соответствующих ошибок предсказания можно рассчитать совместную плотность вероятности для данных Это вытекает из утверждения следующей леммы.

Лемма 5.1. Пусть заданная детерминированная последовательность и пусть порождается следующей моделью

где условная плотность (при заданных это Тогда совместная плотность вероятности приданном и запишется как

Удобства ради здесь значение переменной обозначено просто как

Доказательство. Выходной сигнал порождается соотношением (5.40). Следовательно, условная плотность вероятности при заданном имеет вид

Используя формулу Байеса (1.10), можно представить совместную условную плотность вероятности при заданном в виде

где в выражении для следует заменить на Здесь принято допущение, что заданная детерминированная последовательность. Повторное итерирование последнего соотношения до дает условную плотность вероятности величин при заданном т. е. функцию из (5.41). Это завершает доказательство.

Из приведенных рассуждений следует важный вывод о том, что модель предсказателя (5.28), дополненная гипотетической плотностью распределения вероятностей соответствующих ошибок предсказания, является ни чем иным, как общей неструктурированной вероятностной моделью, задаваемой плотностью вероятности (5.36).

Замечание. Отметим некоторое расхождение с общей моделью условной плотности вероятности. Общая модель (5.36) в общем случае может приводить к такой условной плотности вероятности, которая на самом деле зависит от типа из Это означает, что ошибки предсказания не обязательно считать взаимно независимыми, иричем, как бы то ни было, они образуют мартингально-разностную последовательность:

В прогностической формулировке (5.40) мы предполагаем, что условная плотность не зависит от т. е. подразумеваем независимость ошибки от предыдущих данных. Однако ясно, что к полученному выше результату (с очевидными изменениями в можно было бы прийти и в отказе от предположения независимости.