3.3. Наблюдатели

Во многих задачах теории систем и теории управления полное описание свойств помехи в уравнении (3.1) не используется. Вместо этого работают со свободной от шумов, или детерминированной, моделью:

Однако в этом случае вероятно следует помнить, что уравнение (3.35) не отражает всех входо-выходных особенностей системы.

Конечно, модель (3.35) также можно использовать для расчета, выдвижения гипотез и прогнозирования будущих значений выходного сигнала. Однако в отсутствии модели шума остается свобода в выборе наилучщего способа употребления модели (3.35). При этом ключевым моментом оказывается введение концепции наблюдателей. Обычно эта концепция трактуется в терминах моделей в пространстве состояний для описания (3.35) (см. п. 4.3); см., например, работы Луенбергера [269] и Острема и Виттенмарка [32]. Но по существу также ее можно рассматривать в рамках входо-выходного описания (3.35).

Пример 3.3.

Пусть

Это означает, что входо-выходное соответствие можно представить уравнением

т. е.

либо уравнением

т. е.

Теперь, если заданы описания (3.35) и (3.36) и данные и требуется "высказать предположение” или рассчитать возможное значение сигнала то можно воспользоваться формулой

или формулой

Пока данные и описания системы правильны, между соотношениями (3.39) и (3.40) разницы нет: каждое из них является "наблюдателем” (в нашем случае более уместно было бы говорить предсказателем) системы. Возможность выбора между этими соотношениями может быть связана с дифференциацией степени их чувствительности к неточностям в данных и самих описаниях. Так, иапример, если нет данных о значениях входных и выходных сита лов до момента то ошибка уравнения (3.39) является величиной, убывающей как (влияние неверно заданных начальных условий), а уравнение (3.40) при остается точным. С друтй стороны, ошибки измерений выходного сигнала, не сказываясь на корректности описания (3.39), непосредственно трансформируются в ошибки прогнозирования при использовании описания (3.40). Из обсуждения в должно было стать ясно, что как только описание (3.35) дополняется моделью шума типа (3.1), выбор предсказателя становится единственным (см. задачу Это следует из однозначности определения условного среднего значения выходного сигнала при данной модели шума.

Семейства предсказателей (3.35). Пример (3.36) показывает, что выбор предсказателя можно было бы рассматривать как поиск компромисса между чувствительностью и ошибками измерений выходного сигнала и быстро затухающим влиянием ошибочных начальных условий. Чтобы ввести конструктивные переменные этого компромисса, выбирается фильтр такой, что

Применяя его к обеим сторонам соотношения (3.35)

получим, что

В силу (3.41) правая часть этого уравнения зависит только от Опираясь на эту информацию, мы могли бы высказать "предположение” или спрогнозировать именно:

Тогда можно было бы выразить компромиссный выбор следующими двумя требованиями.

1. Выбор такого чтобы минимизировать влияние ошибочных начальных условий за счет быстрого затухания коэффициентов фильтров и

2. Выбор такого чтобы максимально оттенить неточности измерений сигнала

Последнее требование может быть выпукло проиллюстрировано в частотной области. Пусть где полезный сигнал, а и ошибка измерений. Тогда в соответствии с (3.42) ошибка прогнозирования составит

В силу теоремы 2.2 спектр этой ошибки имеет вид

где спектр и. Таким образом, задача заключается в том, чтобы выбрать фильтр удовлетворяющий (3.41), и такой, чтобы спектрошибки (3.45) находился в приемлемом диапазоне и имел подходящую форму.

Сравнение с -шаговым прогнозом из п. 3.2 показывает, что выражение (3.42) совпадает с (3.31) при Ясно, что полная спецификация шума из уравнения (3.1) дает возможность произвести аналитический расчет фильтра в соответствии с требованием 2. Именно это мы и проделали в Однако в этом случае требование 1 не учитывалось, поскольку предполагалось, что имелась полная информация о прошлом. Как мы уже отмечали, этот аспект обычно менее важен.

Фундаментальная роль прогнозирующего фильтра. Оказывается, что в качестве описания систем чаще всего используются не исходные уравнения (3.1) или (3.35), а предсказатели (3.20) или (3.31) и (3.42). Мы используем соотношения (3.31) и (3.42) для того, чтобы прогнозировать или формировать гипотезы о будущих выходных сигналах; мы используем их при проектировании систем управления (как будет видно в дальнейшем) для регулирования прогнозируемых выходных сигналов и т.д. Здесь соотношения (3.31) и (3.42) трактуются просто как линейные фильтры, на входы которых подаются последовательности воспроизводящие на выходе сигнал . Способ, которым пользуется проектировщик при выборе фильтра, не имеет значения, важно предназначение фильтра: фильтр один и тот же, независимо от того, получилось ли в результате решения задачи о компромиссном выборе (3.43) или посредством расчета по с использованием формул (3.27) и (3.29).

Рис. 3.1. Предсказывающий фильтр (предсказатель)

В этом плане можно рассматривать модель шума Я в уравнении (3.1) не более как оправдание выбору предсказателя. Мы будем придерживаться этой точки зрения. Прогнозирующий фильтр представляет собой фундаментальное описание системы (рис. 3.1). Цепочка рассуждений, которая приводит к формированию фильтра, является вторичной. Отсюда также следует, что различие между стохастической системой (3.1) и "детерминированной системой” (3.35) не является фундаментальным. Тем не менее, нам будет удобнее пользоваться описанием (3.1) как основным. Оно находится во взаимно однозначном соответствии с одношаговым предсказателем (3.20) (см. задачу и непосредственно соотносится с традиционными описаниями.