8.6. Корреляционный подход

В разделе 7.5 корреляционный подход к идентификации был определен специально для методов пссвдолинейной регрессии и инструментальных переменных. Анализ сходимости для этих методов совершенно аналогичен анализу для методов идентификации по ошибке предсказания, проведенному в нескольких предыдущих разделах.

Основные результаты по сходимости. Рассмотрим функцию

где задается уравнением

а вектор корреляции формируется посредством линейной фильтрации поступивших данных:

(оба фильтра содержат одну задержку). Определяя оценку как корень уравнения получаем корреляционный подход (7.96). При этом имеем здесь общие инструментальные переменные для линейного случая (8.86).

Анализ сходимости для (8.84) полностью аналогичен идентификации но ошибке предсказания. Таким образом, из теоремы имеем:

Лемма 8.4. Пусть последовательность данных удовлетворяет и пусть ошибки предсказания вычисляются посредством равномерно устойчивой линейной структуры модели. Предположим, что семейство фильтров

равномерно устойчиво. Тогда

где

Таким образом, дня оценки имеем следующий результат.

Теорема 8.6. Пусть определяется как

Тогда в предположениях леммы 8.4

где

Здесь теорема представлена для частного случая Она непосредственно распространяется на общий вид

Этот результат по сходимости наиболее общий и, кроме того, совершенно естественный. Предельная оценка О характеризуется тем свойством, что пропущенная через фильтр ошибка предсказания уже не коррелирует с инструментальными неременными Это служило также основной идеей при выборе оценки Теперь охарактеризуем более практическими терминами для некоторых специальных случаев.

Состоятельность при Предположение, что должно приводить к существованию величины такой, что белый шум. При находим, что поскольку не зависит от прошлых данных и, в частности, от Следовательно, как и ожидалось,

В общем случае не так просто проанализировать, содержит ли это множество другие элементы, когда данные информативны, а структура модели глобально идентифицируема при

Методы инструментальных переменных при Рассмотрим инструментальные переменные

Лежащая в основе модель

для которой предсказателем является

определяется так же, как в (4.11) и (4.12).

В предположении истинная система задается уравнением (8.7). Если существует соответствующее такое, что

то (8.7) можно записать в виде

или

где

Предположим теперь, что система разомкнута, поэтому независимы. Тогда

где

Второе равенство в (8.96) справедливо в силу того, что полностью формируется но прошлым не зависит от . В рамках сформулированных предположений имеем, таким образом, и ответ на вопрос, содержит ли это множество другие значения 0, зависит от того, является ли матрица вырожденной.

Допустим теперь, что инструментальные переменные не зависят от 0 и генерируются в соответствии с (7.108) (7.110). Тогда матрица

является постоянной, зависящей только от фильтров от истинной системы и от свойств Полное обсуждение невырожденности матрицы R проведено в [374]. Отметим сначала следующие факты. Пусть - порядки истинного описания (8.93), и пусть соответствующие порядки модели. Положим порядки инструментальных фильтров (7.108)- (7.110) равными Тогда

Чтобы это понять, положим

Пусть Если из (8.100) следует существование -мерного вектора такого, что Тогда и Теперь, поскольку независимы, имеем

откуда следует, что вырождена. Аналогично, приводит к существованию такого вектора , что

Когда не выполняется ни одно из условий (8.99), матрица R как правило невырождена. Чтобы показать это, рассуждаем следующим обраэом: для заданной

истинной системы и заданного входного сигнала обозначим коэффициенты фильтров через Матрица R является, таким образом, функцией Теперь рассмотрим скалярнозначную функцию Это аналитическая функция Если такая функция равна нулю на множестве положительной меры Лебега, она должна быть тождественно равна нулю. Таким образом, если существует такое что то можно утверждать, что для почти всех множестве аналитичности Такое можно найти, если спектр входного сигнала для всех со, а порядки фильтров выбраны по крайней мере такими же большими, как соответствующие порядки модели и задачу Имеем, таким образом, следующий результат.

Допустим, система задается уравнением (8.93), и что независимы. Пусть инструментальные переменные определяются соотношениями Предположим, что ни одно из условий (8.99) не выполняется. Тогда (8.98) невырождена для почти всех таких

Частотная характеризация для метода инструментальных переменных Ошибки предсказания в предположении можно, используя (8.93), записать в виде

Для инструментальных переменных (8.92) аналогично имеем

где

Здесь - -мерный вектор-столбец.

Предельные оценки охарактеризованы, таким образом, тем, что определенные скалярные произведения в частотной области с ошибкой равны нулю.