12.2. Цели идентификации

Что же имеется в виду под хорошей и надежной моделью и иод Обе эти формулировки окрашены в субъективные тона и не представляется возможным, да и целесообразным, придать им полностью формализованный смысл. Однако в этом разделе мы будем оценивать качество модели, отправляясь от ее предполагаемого применения. Рассмотрение ограничится случаем линейных одномерных систем и моделей.

Истинная система и модель. Стремясь обеспечить качественные характеристики модели, неизбежно приходится явно или неявно делать предположения об истинных свойствах объекта. В целях настоящего рассмотрения допустим, что истинная система удовлетворяет предположению из гл. 8, т.е.

где белый шум с дисперсией

Ясно, что корректность такого предположения может быть подвергнута сомнению. Вернемся к той точке зрения, которой мы придерживались в гл. 8. Анализ должен сводиться к постулированию некоторых свойств истинного механизма порождения данных и последующему расчету вытекающих из предположений особенностей моделей. Подобный расчет оказывается полезен и наводит на размышления, даже если принятые гипотезы могут не поддаваться проверке.

Как и раньше, упрощая обозначения, положим

Допустим, что решение по всем проектным переменным принято, и в результате

получена модель

Напомним, что среди прочего множество включает размер выборки и порядки моделей. А

Скалярный критерий проектирования. Желательно, чтобы модель была близка к Разность

должна быть в каком-то смысле невелика. Введем формальную меру величины . В плане предполагаемых применений модели важнее других может оказаться хорошее совпадение в некоторых частотных диапазонах. Чтобы отразить это обстоятельство, введем взвешенный частотный критерий

где -матричная функция

соразмеряет относительную значимость степени совпадения в разных частотных диапазонах, а также значимость степени подгонки компонент соответственно. В общем случае будем предполагать, что матрица эрмитова, т.е.

(Последнее равенство относится к случаю, когда зависимость от вводится через аргумент Мы приведем несколько простых примеров того, как можно определять такие функции веса.

Скаляр в силу случайности представляет собой случайную величину. Чтобы мера качества модели не зависела от реализации, естественно усреднигь и определить критерий

где -матрица II имеет вид

Теперь задача выбора проектных переменных может быть сформулирована так: найти

где символом обозначено множество ограничений, соответствующих нашему желанию обойтись Обычно в это множество включают максимальный размер выборки, ограничения на мощность сигналов, на сложность вычислительных процедур и Множество ограничений может также включать

те проектные переменные, которые просто недоступны пользователю в рассматриваемом конкретном приложении.

Задача (12.9) будет обсуждаться в гл. 13—16. Сначала мы опишем несколько примеров прикладных задач, которые приводят к разным определениям функций из

Применение моделей. В гл. 3 был перечислен ряд типовых примеров использования линейных моделей. В каждом из них возникает своя весовая функция в критериальном выражении (12.7).

Пример Моделирование.

Пусть передаточная функция используется с целью моделирования о до выходного соответствия в системе с входным сигналом типа (3.2). Тогда на выходе модели воспроизводится следующий сигнал:

в то время как на выходе истинной системы должен быть сигнал вида

Сигнал ошибки

имеет спектр

где спектр Это вновь случайная функция, математическое ожидание которой по распределению равное

представляет собой меру среднего ухудшения характеристик из-за ошибок модели Отметим, что в силу (2.8) при

можно преобразовать (12.11) к виду

Наконец, средняя дисперсии (усреднение но и но равна

что есть частный случай (12.7). Эта запись показывает, какую физическую интерпретацию допускает квадратичный критерий проектирования (12.7).

Пример 12.2. Предсказание.

Уравнение одно шагового предсказателя определяется формулой (2.30)

где входо-выходные данные получаются непосредственно в системе. Расхождение между данными прогноза полученными по модели и истинным прогнозом равно (в правой части ументы опушены)

Входо-выходные данные подчиняются уравнению

из которого следует, что

Спектр этого сигнала запишется как (12.18)

спектр взаимный спектр сигналов Из-за члена в знаменателе это выражение не является квадратическим относительно величины ошибки модели. Предполагая, однако, малость ошибки, т. е. пренебрегая членами высших порядков в выражении для можно заменить II на . В результате находим приближенную формулу для среднего спектра сигнала ошибки:

где

Отсюда следует, что средняя дисперсия сигнала ошибки с достаточной степенью точности определяется формулой для критерия (12.7), в которую подставляется (12.20).

Пример 12.3. Управление.

Допустим, что целью построения модели является осуществление управления по минимуму дисперсии с помощью обобщенного контроллера вида

Посредством выкладок, аналогичных проведенным в примере 12.2, определим, что дисперсия разности между идеальным выходным сигаалом и полученным по модели, определяется формулой (12.7) с подстановкой в нее

(в пренебрежении ошибками более чем второго порядка малости).

Аналогично решение задачи управления методом принудительного выбора полюсов (3.55)

приводит к критерию (12.7), в котором

при условии, что спектр отклика подавляет дисперсию обновляющего процесса

При таком подходе различные варианты использования модели ведут к критериям (12.7) и (12.8) с разными функциями весов См. задачу по поводу общей трактовки (12.7) и задачу в связи с исследованием точности получающихся в результате оценок параметров.