6.3. Гармонический анализ Фурье

Эмпирическая оценка передаточной функции. Выше была установлена связь выражения (6.23) с частотным анализом, при котором на вход подается чистое гармоническое воздействие частоты . В линейной системе различные частоты проходят через нее независимо друг от друга. Следовательно, совершенно естественно распространить оценку частотного анализа на случай многочастотных входных воздействий. Другими словами, введем следующую оценку передаточной функции также и для случая, когда входное воздействие не является чисто гармоническим:

где определены соотношениями (6.19) и (2.37) соответственно. Эта оценка также совершенно естественна ввиду теоремы 2.1.

Будем называть эмпирической оценкой передаточной функции. Обсудим кратко нричины такого названия. В (6.24) конечно же предполагается, что Если для каких-то частот это не так, считаем для них эмпирическую оценку передаточной функции неопределенной. Название этой оценки эмпирической связано с тем, что никакие предположения, кроме линейности системы, не делались. В случае многочастотных входных воздействий эмпирическая оценка передаточной функции состоит из существенных точек. (Напомним, что оценки на промежуточных частотах между точками получаются тригонометрической интерполяцией в Поэтому величины действительные и, кроме того,

(сравните (2.40) и (2.41)).

Исходная последовательность данных, состоящая из чисел преобразуется в чисел

Это очень скромное сокращение данных показывает, что большая часть информации, содержащейся в исходных данных является «сырой».

Кроме расширения частотного анализа, эмпирическую оценку передаточной функции можно интерпретировать как способ (приближенного) решения относительного системы уравнений в конволюциях

с использованием преобразования Фурье.

Свойства эмпирической оценки передаточной функции. Предположим, что система описывается уравнением (6.1). Обозначая

из теоремы 2.1 получим

где член удовлетворяет неравенству (2.54) и убывает как

Исследуем теперь влияние члена на Поскольку но предположению имеет нулевое среднее,

то

Здесь математическое ожидание вычисляется по распределению при условии, что фиксированная последовательность чисел.

Пусть ковариационная функция и спектр процесса определяются соотношениями (2.14) и (2.63). Тогда

Здесь

и

Рассмотрим

при условии, что

Аналогично,

Объединяя эти выражения, получаем

причем

Эти вычисления могут быть подытожены в виде следующего результата.

Лемма 6.1. Рассмотрим строго устойчивую систему

где возмущение представляет собой стационарный случайный процесс со спектром и ковариационной функцией удовлетворяющей условию (6.30). Пусть не зависит от для всех Тогда для , определяемой соотношением (6.24), имеем

где

и

где

Здесь определяется выражением (2.37) и рассматриваются те частоты, для которых определена. В соответствии с теоремой 2.1 и условием (6.30) константы равны

Если имеет период то

Замечание. Отметим, что входная последовательность предполагается фиксированной. Такие вероятностные характеристики, как Е, «смещенние» и "дисперсия” относятся к вероятностному пространству процесса Это, конечно, не исключает случая, когда входное воздействие генерируется в виде реализации случайного процесса, не зависящего от

Свойства эмпирической оценки передаточной функции близки к свойствам оценок периодограммы спектра. С учетом (2.43) и (2.72) получаем следующий результат.

Лемма 6.2. Пусть задается уравнением

где белошумная последовательность с дисперсией X и четвертым моментом строго устойчивый фильтр. Пусть определяется выражением (6.27), а спектр Тогда

где

До к азател ьство. Уравнение (6.36) следует из (6.31). Простое доказательство (6.37) выделено в виде задачи при несколько более ограничительных условиях. Полное доказательство может быть дано прямым вычислением (6.37). См. для этого, например, теорему 5.2.4 в монографии Бриллингера [63]. По поводу улучшения смещения за счет повторного использования данных см. задачу Эти леммы вместе с результатами раздела 2.3 говорят следующее.

Случай 1. Периодическое входное воздействие. Если входное воздействие периодическое и кратно периоду, то, как известно из примера 2.2, величина возрастает как для некоторых со и равна нулю в других точках (см. (2.49)). Число частот для которых отлично от нуля,

а следовательно, для которых эмпирическая оценка передаточной функции определена, фиксировано и не превышает периода сигнала. Таким образом,

— эмпирическая оценка передаточной функции определена только для фиксированного числа частот;

— на этих частотах эмпирическая оценка передаточной функции не смещена, а ее дисперсия убывает как

Заметим, что результат (6.17) по частотному анализу корреляционным методом получен как частный случай.

Случай 2. Входное воздействие является реализацией случайного процесса. Лемма 6.2 показывает, что периодограмма представляет собой беспорядочную функцию от со, флуктуирующую вокруг спектра который предполагается ограниченным. Лемма 6.1 говорит, таким образом, что

— эмпирическая оценка передаточной функции является асимптотически несмещенной для частот, число которых возрастает (с ростом );

— дисперсия эмпирической оценки передаточной функции не убывает при возрастании что приводит к определенному отношению «сигнал/шум» на рассматриваемой частоте;

— оценки на различных частотах не коррелируют.

Из этого следует, что в случае периодического входного сигнала качество эмпирической оценки передаточной функции будет улучшаться на частотах, присутствующих во входном воздействии. Однако если входной сигнал не периодичен, дисперсия оценки не убывает с ростом а становится равной отношению «сигнал/шум» на соответствующей частоте. Это последнее свойство делает эмпирическую оценку очень грубой во многих практических случаях.

Легко понять, почему дисперсия не убывает с ростом Оценивание производится независимо для всех точек, для которых имеются данные. Другими словами, характерные особенности данных или какое-либо сжатие информации не используются. Это в свою очередь является следствием того, что мы предположили лишь линейность реальной системы. Таким образом, свойства системы на различных частотах могут быть совершенно не связанными друг с другом. Из этого также следует, что единственная возможность увеличить информацию об оцениваемом параметре состоит в предположении, что поведение системы на одной частоте связано с ее поведением на других частотах. В следующем разделе обсуждается один такой подход.