2.3. Спектры сигналов

В некотором смысле периодограмма определяет частотное наполнение сигнала в конечном интервале времени. Однако, как иравило, нестабильность периодограммы как функции от со сильно искажает эту информацию. Хотелось бы построить аналогичную конструкцию в интервале Можно предположить, что такой аналог позволит более четко оценить вклад в сигнал различных частот.

Впрочем, в рассматриваемом контексте дать такое определение сразу не удается. Представляется более естественным определить спектр сигнала как

но этот предел для многих практически интересных сигналов не существует. Другая возможность сводится к тому, что спектр, или спектральная плотность стационарного случайного процесса определяется как преобразование Фурье от функции ковариации процесса. Однако рассматриваемые нами процессы часто не являются стационарными. О причинах речь пойдет дальше. Ниже будет изложена схема описания сигналов и их спектров, которая приложима как к детерминированным, так и случайным сигналам.

Общая схема описания детерминированных и случайных сигналов. В этой книге нам придется часто работать с сигналами, которые описываются случайными процессами с детерминированными компонентами. Дело в том, что нам удобнее рассматривать входную последовательность как детерминированную или, но крайней мере, частично детерминированную, считая возмущения, поступающие в систему, случайными величинами. В результате выходной сигнал системы становится случайным процессом с детерминированными компонентами. Для уравнения (2.20) находим

т.е. процесс не является стационарным.

Чтобы преодолеть эту трудность, будем считать, что сигнал удовлетворяет следующим предположениям:

При выполнении условий процесс называется квазистационарным. Здесь математическое ожидание берется по случайным компонентам Если процесс представляет собой детерминированную последовательность, то вычисление математического ожидания по сути дела не производится, а квазистационарность означает, что это такая ограниченная последовательность, для которой существует предел

Если стационарный случайный предел, то формулы (2.58) и (2.59) становятся тривиальными, поскольку не зависит от

Для упрощения обозначений введем символ

неявно предполагая, что соответствующий предел существует. Тогда формула которая является определением функции может быть преобразована к виду

Иногда мы будем не вполне точно называть функцией ковариации процесса отдавая себе отчет в том, что такое название корректно только тогда, когда стационарный случайный процесс с нулевым средним.

Точно так же будем называть два сигнала взаимно квазистационарными, если оба сигнала квазистационарны и, кроме того, существует функция взаимной ковариации

Будем говорить, что взаимно квазистационарные сигналы некоррелированы, если соответствующая функция взаимной ковариации тождественно равна 0.

Определение спектров. Когда существуют пределы типа (2.61) или (2.62), спектр (энергетический) сигнала определяют как

а взаимный спектр сигналов как

при условии, что введенные бесконечные суммы существуют. В дальнейшем, говоря о спектре сигнала, мы будем неявно предполагать, что все включенные в определения условия выполнены.

Хотя спектр всегда веществен, спектр в общем случае является комштексиозначной функцией от . Его вещественная часть известна под названием коспектра, а мнимая часть — квадратурного спектра. Аргумент называют фазовым спектром, а амплитудным спектром.

Заметим, что по определению обратного преобразования Фурье

Пример 2.3. Спектр синусоиды.

Снова рассмотрим сигнал (2.45), распространив его на интервал . В этом случае имеем

(Знак математического ожидания снимается, поскольку сигнал и является детерминированным). Далее

откуда следует, что

Теперь можно записать спектр в виде

где - функция Дирака. Этот результат хорошо согласуется с формулой (2.46) для конечного интервала.

Пример 2.4. Стационарные случайные процессы.

Пусть стационарный случайный процесс с функцией ковариации (2.14). Поскольку в этом случае формула (2.59) тождественна формуле (2.14), наше определение спектра совпадает с обычным. Пусть теперь процесс и определяется формулой (2.9). Соответствующая функция ковариации в этом случае дается соотношением (2.13). Используя (2.18), можно представить спектр в виде

Этот результат, как крайне важный для будущих приложений, сформулируем отдельно:

Спектр случайного процесса, описываемого соотношениями где последовательность взаимно независимых случайных величин с нулевым средним и ковариацией X, определяется следующей формулой:

Этот результат нетрудно было бы доказать в частном случае стационариого случайного процесса, в общем случае он будет доказан в этом же разделе (теорема 2.2). На рис. 2.7 представлен спектр процесса, показанного на рис. 2.5 и 2.6, а периодограмма реализации, изображенной на рис. 2.6, приводится на рис. 2.8.

Пример 2.5. Спектр смеси детерминированного и случайного сигналов.

Рассмотрим теперь сигнал вида

где детерминированный сигнал со спектром стационарный случайный процесс с нулевым средним и спектром Тогда

поскольку Следовательно,

Связь с периодограммой. Хотя исходное определение (2.57) оказывается неконструктивным, можно доказать осмысленность идейно близкой конструкции, а именно: доказать, что среднее значение периодограммы слабо сходится к спектру:

Это означает, что

для всех достаточно гладких функций

Справедлива следующая лемма.

Лемма 2.1. Пусть сигнал является квазистационарным со спектром Пусть также

Рис. 2.7. Спектр процесса где белый шум

Рис. 2.8. Периодограмма реализации с рис. 2.6

произвольная функция в области с такими коэффициентами Фурье что

Тогда имеет место соотношение (2.73).

Доказател ьство.

где

с условием, что полагается равным 0 вне интервала Умножая (2.74) на и интегрируя в интервале в силу определения коэффициентов получим

Аналогично, меняя местами операции суммирования и интегрирования, находим

Следовательно,

Доказательство завершается решением задачи

Отметим, что для стационарных случайных процессов результат (2.72) может быть усилен до обычной сходимости (см. задачу 2D.3). Отметим также, что в рассматриваемом контексте результаты типа (2.72) могут быть применены к отдельным реализациям случайных процессов, если опустить вычисление математических ожиданий. В этом случае рассматриваемую реализацию воспринимают как заданную детерминированную последовательность, при этом для данной реализации нужно потребовать выполнения условий (2.58) и (2.59) (разумеется, формулы (2.58) и (2.59) в этом случае используются без оператора .

Преобразование спектров в линейной системе. При фильтрации сигналов через линейные системы их свойства будут изменяться. Из теоремы 2.1 мы видели, как меняется периодограмма и как, в соответствии с формулой (2.68), белый шум преобразуется в стационарный случайный процесс. Для спектров имеет место следующий общий результат.

Теорема кеазистационарный сигнал со спектром и пусть устойчивая передаточная функция. Пусть также

Тогда сигнал также квазистационарен и

Доказательство. Доказательство приводится в Приложении

Следствие. Пусть задается уравнением

где кеазистационарный детерминированный сигнал со спектром белый шум с дисперсией Пусть устойчивые фильтры. Тогда сигнал квазистационарен и

Доказательство. Следствие вытекает из теоремы, основанной на примерах 2.4 и 2.5.

Спектральная факторизация. Обычно используемые здесь передаточные функции являются рациональными функциями от . В этом случае результаты типа формулы (2.68) и теоремы 2.2 описывают спектры как вещественнозначные рациональные функции от (это также означает, что они являются рациональными функциями от

На практике большой интерес представляет обращение этих результатов, т.е. решение вопроса о возможности отыскания для заданного спектра такой передаточной функции что процесс будет иметь этот спектр в случае, когда белый шум. Вполне понятно, что для любых положительных функций это невозможно. Например, если спектр равен нулю в некотором интервале, то функция должна быть равна нулю на части единичного круга. Но поскольку разложение (2.18) возможно, только если функция является аналитической всюду вне и на единичном круге, то функция окажется равной нулю всюду и не будет соответствовать заданному спектру.

Точные условия, при которых поставленный вопрос имеет положительный ответ, обсуждаются в работах по стационарным процессам, например, в книгах Винера [434] и Ю. Розанова [348]. Для наших целей достаточно воспроизвести простой результат, относящийся к спектральным плотностям которые являются рациональными по переменной (или ).

Допустим, что является рациональной функцией от Тогда найдется моническая рациональная функция у которой нет полюсов и нулей вне и на единичном круге и такая, что

Доказательство этого результата сводится к непосредственному построению функции R и может быть найдено в стандартных учебниках по случайным процессам или стохастическим системам управления (см., например, [21, 348]).

Пример 2.6. ARMА-процессы.

Если стационарный процесс имеет рациональный спектр то его можно представить в виде

где белый шум с дисперсией рациональная функция:

поэтому (2.82) можно переписать в виде

Такое представление известно под названием ARMA-модели. Если то получается модель авторегрессии -модель):

А если то получается модель скользящего среднего (МА-модель)

Метод спектральной факторизации играет важную роль, поскольку только на основе информации о спектре позволяет представить возмущения в стандартном виде Понятие спектра обычно используется в инженерно-технических характеристиках свойств сигналов и фигурирует в отчетах в виде фраз: «Помехи сконцентрированы в окрестности 50 Гц» или «Имеют место низкочастотные помехи, оказывающие небольшое влияние в диапазоне частот около 1 рад/с». С помощью рациональных функций можно приблизить функции самого разного вида. Таким образом, метод спектральной факторизации дает прочную основу для моделирования возмущений.

Свойства второго порядка. В силу данных определений спектрами описываются такие характеристики сигналов, которые могут быть названы свойствами второго порядка (для случайных процессов это статистические характеристики второго порядка, т.е. первые и вторые моменты). Возвращаясь к разделу 2.1, напомним, что стохастические процессы могут иметь самые разные на вид реализации, даже если для каждой реализации функция ковариации одна и та же (см. рис. 2.5 и 2.6)! Стало быть, спектр определяет только некоторые особенности сигнала. Тем не менее, в дальнейшем мы убедимся, что по отношению к процессу идентификации многие из свойств сигналов зависят только от их спектров. Это объясняет наш обстоятельный интерес к свойствам второго порядка.