4.5. Множества моделей, структуры моделей и идентифицируемость: некоторые формальные положения

В этой главе нами рассмотрены модели линейных систем и параметризованные множества таких моделей. По мерс перехода к изучению методов идентификации становится ясным, что эти модели и множества моделей должны удовлетворять определенным требованиям. В этом разделе мы рассмотрим некоторые из таких формальных требований. Для упрощения обозначений все аналитические соотношения будут выписаны только в случае одномерных моделей.

Некоторые обозначения. Для записи формул, которые будут выведены в этом разделе, удобно ввести некоторые компактные обозначения. Введя

можно переписать формулу (4.1) в виде

Аналогичным образом может быть переписана модельная структура (4.4):

При данной модели (4.107) можно выписать формулу для одношагового прогноза (3.54), которая преобразуется к виду

где

Очевидно, что формула (4.111) устанавливает взаимнооднозначное соответствие между

Замечание. Отправляясь от (4.107), может оказаться предпочтительным выбор -шагового предсказателя (3.31). Чтобы сохранить соответствие (4.112), можно рассматривать (3.31) как одношаговый предсказатель для модели (3.22).

Модели. В связи с моделью (4.1) мы уже отмечали, что модель линейной системы образуют специальным образом определенные передаточные функции и с возможным дополнением в виде дисперсии ошибки предсказания X или плотностью вероятности ошибки предсказания . В пп. 3.2 и 3.3 мы сделали вывод, что конечный результат зависит от того, какие формулы используются для предсказания будущих значений выходного сигнала. Одношаговый предсказатель для модели (4.1) определяется формулой (4.109).

Хотя в силу (4.112) предсказатель (4.109) находится во взаимно однозначном соответствии с моделью (4.107), было бы неплохо ослабить связь (4.112) и принять формулу (4.109) в качестве основной модели. Среди прочего это позволит непосредственно перейти к нелинейным и нестационарным моделям, как будет показано в п. 5.4. Итак, введем то, что мы понимаем под моделью, формально.

Определение 4.1. Прогнозирующей моделью линейной, стационарной системы называется устойчивый фильтр определяющий формулу для прогноза (4.109) при условии (4.110).

Требование устойчивости, определенное соотношениями (2.27) (применительно к обеим компонентам необходимо для однозначности определения правой части формулы (4.109). Хотя прогнозирующие модели имеют смысл и при детерминистском рассмотрении вне стохастических конструкций (это отмечалось уже в п. 3.3), полезно также рассмотреть модели, которые специфицируют определенные свойства соответствующих ошибок предсказания (обновлений).

Определение 4.2. Полной вероятностной моделью линейной, стационарной системы называется пара состоящая из прогнозирующей модели и плотности вероятности соответствующих ошибок предсказания.

Ясно, что можно также рассматривать модели, в которых распределение вероятностей задано лишь частично (например, дисперсией ошибки ).

В этом разделе мы рассмотрим только прогнозирующие модели. Основные конструкции для вероятностных моделей строятся но аналогии.

Будем говорить, что две модели равны между собой, если

Модель

будем называться прогнозирующей на к шагов (вперед) моделью, если

к моделью выходной ошибки (или имитационной моделью), если

Отметим, что в определении на предсказатель наложено требование устойчивости. Это вовсе не означает, что устойчива динамика самой системы.

Пример 4.4. Неустойчивая система.

Допустим, что

и

Иначе говоря, модель описывается уравнением

и динамика связи между и и у не является устойчивой. Однако передаточные функции в предсказателе записываются как

т. е.

что очевидным образом удовлетворяет условию определения 4.1.

Множества моделей. Определение 4.1 описывает одну конкретную модель линейной системы. Задача идентификации состоит в определении этой модели. Поиск подходящей модели обычно будет проводиться на множестве моделей-кандидатов. Вполне естественно определить множество моделей как

Это уже набор моделей, каждая из которых удовлетворяет определению 4.1, помеченных в нашем случае индексом а, значения которого пробегают множество А.

Типичным множеством моделей может быть

т. е. всех линейных моделей, удовлетворяющих определению 4.1, или

или конечное множество моделей

Говорят, что два множества моделей равны если для любой модели из найдется модель из, что (см. (4.113)) и обратно.

Структуры моделей: параметризация множеств моделей. Чаще всего рассматриваемые множества моделей несчетны. Так как на этих множествах предстоит вести поиск наилучших моделей, представляет интерес устанавливаемый способ перечисления моделей. Основная идея заключается в том, чтобы параметризовать (проиндексировать) множество гладким образом в хорошем диапазоне и вести поиск на множестве параметров (индексов). Допустим, что модели индексированы с Л-мерным вектором в:

Чтобы формализовать понятие гладкости, потребуем дифференцируемости функции по 0 для любого заданного

Здесь

-матрица. Таким образом, градиент прогноза определяется выражением

Так как расчет и использование фильтров будут осуществляться в процессе поиска, необходимо потребовать их устойчивости. В результате мы приходим к следующему определению.

Определение 4.3. Модельная структура представляет собой дифференцируемое отображение из связного открытого подмножества пространства в множество моделей такое, что градиенты функций предсказателя устойчивы. Математически это определение записывается в виде цепочки

при этом фильтр из формул (4.118) существует и устойчив для Таким образом, символом будет обозначаться конкретная модель, соответствующая значению параметра, с сохранением обозначения для самого отображения.

Замечание. Требование открытости множества обеспечивает однозначность определения производных в формулах (4-118). При использовании модельных структур иногда могут оказаться более предпочтительными неоткрытые множества Ясно, что если содержится в некотором открытом множестве, на котором определены соотношения (4.118), то проблем не возникнет. Дифференцируемость

также можно определить на более сложных, чем открытые подмножествах пространства на дифференцируемых многообразиях (см., например, [60]). Дополнительные замечания можно найти в комментариях к библиографии этой главы.

Пример 4.5. ARX-структура.

Рассмотрим ARX-модель

Предсказатель определяется формулой (4.10), которая в даииом случае имеет вид

и

Параметризованные множества моделей, которые были непосредственно изучены нами в этой главе, записаны в виде (4.4) и данном случае

или, используя (4.108),

Сразу же проверяется, что в силу (4.111)

где

Тогда дифференцируемость следует из дифференцируемости

Следует понимать, что фактически все рассмотренные в этой главе параметризации представляют собой модельные структуры в смысле определения 4.3. В частности, справедлива следующая лемма.

Лемма 4.1. Параметризация (4.35) с вектором в из формулы (4.41), принадлежащем области не имеет нулей вне открытого единичного круга} является модельной структурой.

Доказательство. Необходимо только убедиться в том, что градиенты по параметру функций

и

являются аналитическими функциями для всех Но это сразу следует из того, что (например, для

Лемма 4.2. Рассмотрим параметризацию в пространстве состояний (4.88). Допустим, что матрицы и поэлементно дифференцируемы

по в. Допустим, что в где

Тогда параметризация соответствующего предсказателя является модельной структурой.

Доказательство. См. задачу

Отметим, что если матрица найдена как решение уравнения (4.84), то в силу обычного свойства фильтра Калмана (см. [11])

При обращении к другим модельным структурам мы будем пользоваться следующим определением.

Определение 4.4. Говорят, что модельная структура содержится в модельной структуре и пишут

если С и отображение получается сужением на множество в Наитипичнейшей ситуацией выполнения (4.124) будет случай, когда определяет модели порядка, а модели га-го порядка Можно считать, что множество получается из множества посредством фиксации некоторых параметров (как правило, обнуления).

Иногда оказывается полезным следующее характеристическое свойство модельных структур.

Определение 4.5. Говорят, что модельная структура обладает независимо параметризованными передаточной функцией и моделью шума, если

Отметим, что частный случай семейства (4.33), когда соответствует независимой параметризации

Замечание о конечных модельных структура Иногда множество моделей-кандидатов является конечным (см. . И в этом случае может быть желательным проиндексировать это множество, используя вектор параметров в, принимающий теперь конечное множество значений. Хотя такая конструкция в соответствии с определением 4.3 не может быть квалифицирована как модельная структура, следует отметить, что процедуры оценивания из пп. 7.1- 7.4 и соответствующие результаты по сходимости из пп. 8.1-8.5 в этом случае также будут иметь смысл.

Множество моделей как область значений модельной структуры. Множество значений модельной структуры вполне наглядно определяет множество моделей:

В теории идентификации важной задачей является отыскание модельной структуры, область значений которой совпадает с данным множеством моделей. Эта задача иногда является простой, а иногда крайне нетривиальной.

Пример 4.6. Параметризация

Рассмотрим множество определенное формулой Если положить

и

то очевидно, что у сконструированной модельной структуры область значений совпадает с

Как правило, данное множество моделей может быть представлено областью значений нескольких разных модельных структур (см. задачи 4Е.6 и 4 Е.9).

Множество моделей как объединение областей значений модельных структур. В последнем примере для заданного множества моделей удалось подобрать модельную структуру с соответствующей областью значений. Мы еще встретимся с такими множествами моделей, для которых это невозможно, по крайней мере среди модельных структур с желательными свойствами идентифицируемости. В таких задачах выход из положения состоит в том, чтобы описать множество моделей как объединение областей значений нескольких разных модельных структур:

Именно эта идея реализована в частном случае описания линейных систем с несколькими выходными сигналами. Подробно эта процедура изложена в Приложении 4А. Мы же здесь только отметим, что множества моделей, описываемые соотношением (4.126), полезны и при работе с моделями разных порядков и что по крайней мере неявно такие множества часто используются, когда порядок искомой модели заранее неизвестен и подлежит определению.

Свойства идентифицируемости. Идентифицируемость является центральным понятием теории идентификации. Вольно выражаясь, вопрос заключается в том, позволяет ли процедура идентификации однозначно определить значение параметра в и/или совпадает ли получающаяся модель с реальной системой. Мы коснемся этого предмета более детально в отдельной главе (см. пп. 8.2 и 8.3). Сюда, в частности, относится вопрос о том, достаточно ли информативно множество данных (условия эксперимента), чтобы существовала возможность различения разных моделей и изучения свойств самих модельных структур. При этом, если данные достаточно информативны для дифференциации разных моделей, то возникает следующий вопрос - могут ли разным значениям в соответствовать одинаковые модели, В принятой терминологии последний вопрос относится к обратимости модельной структуры Л(т.е. инъективности отображения ). Мы сейчас обсудим некоторые из концепций, связанных с подобными свойствами обратимости. Нижеследующее изложение дополняется материалами пп. 8.2 и 8.3.

Определение 4.6. Модельная структура называется глобально идентифицируемой в точке в если

Напомним, что понятие равенства моделей, определенное формулой (4.113), включает требование совпадения передаточных функций предсказателей. В силу (4.112) отсюда следует, что совпадают передаточные функции

После того, как определена идентифицируемость в точке, можно перейти к идентифицируемости на множестве.

Определение 4.7. Модельная структура называется строго глобально идентифицируемой, если она глобально идентифицируема в каждой точке множества

Это определение является достаточно ограничивающим. Как мы увидим впоследствии, конструировать модельные структуры, обладающие свойством строго глобальной

идентифицируемости, непросто. В частности, для линейных систем свойство глобальной идентифицируемости может утрачиваться в точках гиперповерхностей, соответствующих системам более низкого порядка. Поэтому мы введем более слабое, но более реалистическое свойство.

Определение 4.8. Модельная структура называется глобально идентифицируемой, если она глобально идентифицируема в почти всех точках

Замечание. Иначе говоря, структура глобально идентифицируема во всех точках где

- множество лебеговой меры 0 в (наиомним, что а следовательно, и -подмножества

Что касается локальных свойств, то наиболее естественное определение локальной идентифицируемости структуры в точке 0 должно требовать существования такого 6, что

где через обозначена -окрестность точки 0. Тогда (строго) локальная идентифицируемость модельной структуры может быть введена по аналогии с определениями 4.7 и 4.8. См. также задачу 4G.4.

Использование понятая идентифицируемости. Понятие идентифицируемости относится к вопросу о единственности представления данного системного описания в рамках модельной структуры. Пусть

- такое описание. Мы могли бы говорить о том, что такое описание по отношению к реальной системе является истинным или идеализированным, однако в этом тексте такой разговор был бы беспредметным. Пусть модельная структура, основанная на одношаговых предсказателях для следующего уравнения

Тогда определяется множество тех значений 0 из для которых

При это множество пусто. (В этом случае к некоторой путанице обозначений это также область значений отображения )

Допустим теперь, что а следовательно, для некоторого Допустим также, что структура является глобально идентифицируемой в точке Тогда

Одной из особенностей процесса выбора хорошей модельной структуры является выбор такой чтобы для данного описания 8 выполнялось соотношение (4.132). Поскольку пользователю описание неизвестно, практические процедуры, как правило, включают тестирование нескольких разных структур Введенные понятия идентифицируемости становятся полезным указателем при отыскании такой для которой выполнено (4.132).