12.3. Смещение и дисперсия

В этом разделе мы более подробно обсудим частотный критерий достижения цели идентификации (12.7) -(12.8) применительно к параметрическим методам идентификации. Пусть, как и в (4.108),

и пусть это оценка, полученная одним из методов гл. 7. Отобразим явно зависимость от размера выборки Тогда оценка передаточной функции (12.3) запишется как

Выведем выражение для среднеквадратической ошибки из формулы (12.8). В соответствии с результатами гл. 8 оценка сходится почти наверное к величине Теорема о средних значениях дает

где это -производная по 0, определяемая формулой (4.122). Обозначая асимптотическое отклонение модели как

можно записать (12.8) в виде

где

В записи (12.27) мы пренебрегли членом

который в силу соотношения в условиях теоремы 9.1 существенно меньше любого из оставшихся в (12.27) членов при большом Отметим, что из указанной теоремы следует также явная формула (9.15) для определения С подстановкой (12.27) критерий проектирования (12.7) и (12.8) представляется в асимптотической форме

Отметим, что используя (12.28), можно получить

Формула для раздельно представляет "вклады” в целевую функцию, связанные с дисперсией и со смещением Обычно эти две компоненты по-разному зависят от проектных переменных. На величину вклада от смещения наиболее заметно влияет множество моделей (широкое, гибкое и/или хорошо настраиваемое множество моделей дает малую величину смещения) и, как правило, мало влияют длина записей данных, мощности сигналов и т.д. С другой стороны, член дисперсии обычно убывает с ростом объема выборки и мощности входного сигнала, но возрастает при увеличении числа оцениваемых параметров.

В гл. 13 более подробно будет рассмотрено решение подзадачи: найти

а в гл. 14 и 15 - различные аспекты решения подзадачи: найти

В последних главах обсуждается также вопрос о том, как объединить результаты решения этих подзадач с целью решения задачи об отыскании

Асимптотическая формула для Из формулы (9.99) мы имеем следующее асимптотическое по порядку модели и длине записи данных выражение

Здесь все переменные входной спектр взаимный спектр содержатся в множестве . С другой стороны, только от этих переменных зависит асимптотическое выражение для ковариационной матрицы. Имеется несколько проектных переменных (предварительные фильтры, модели шумов и горизонты предсказания), которые на асимптотическом представлении не сказываются.

Подстановка (12.34) в (12.29) при учете (12.6) дает следующую явную формулу

Более подробно это выражение, характеризующее вклад дисперсии, будет рассмотрено в гл. 14.