8.2. Условия на последовательность данных

Набор данных

— основная отправная точка. Выше отмечалось, что анализ сводится к предположению определенных свойств данных и определению получающихся в результате свойств Поскольку анализ будет проводиться для естественно, что условия, накладываемые на данные, относятся к бесконечной последовательности В этом разделе будут введены такие условия, а также будут даны некоторые определения.

Техническое условие D1. Будем предполагать, что реальные данные генерируются по схеме, изображенной на рис. 8.1. Входная переменная и может формироваться (частично) как выход цепи обратной связи или в разомкнутой цеии Сигнал представляет собой возмущения, действующие на процесс. (Нижний индекс 0 отличает этот "истинный” шум от подставного шума который используется в модельном описании Главной целью введения условия является описание замкнутой системы, представленной на рис. 8.1, как устойчивой, в силу чего различие между далеко отстоящими друг от друга данными исчезает. Наиболее ограничительное условие состоит в предположении линейности (8.2). Можно провести анализ при более общих предположениях ценой его усложнения; см. [245], условие . В нашем случае будем использовать следующие технические предположения.

D1. Последовательность данных такова, что для некоторых фильтров

где

1) - ограниченная детерминированная последовательность внешних воздействий;

2) - последовательность независимых случайных величин с нулевыми средними и ограниченными моментами порядка при некотором

3) семейство фильтров равномерно устойчиво;

4) сигналы совместно квазистационарны.

Напомним определения устойчивости (2.29) и квазистационарности (2.58) — (2.65). (В задаче показано, что равномерная устойчивость имеет место, даже если замкнутая система проходит кратковременную неустойчивость.)

Рис. 8.1. Схема генерации данных

Замечание. Говоря, что детерминированная последовательность, просто подразумеваем, что она рассматривается как заданная последовательность, которая (в противоположность может быть воспроизведена при повторении эксперимента. Стохастические операторы и квалификаторы такие, как с вероятностью будут, таким образом, относиться к распределению при фиксированной последовательности Конечно, это не исключает того, что конкретная последовательность в действительности является реализацией случайного процесса, независящего от возмущений системы. В этом случае иногда удобно полагать математическое ожидание оператором усреднения также и по вероятностным свойствам Ниже (см. уравнение (8.27)) будет дан комментарий того, как это делается.

Истинная система. Иногда будем использовать следующее более определенное предположение об истинной системе:

S1. Последовательность данных генерируется в соответствии с

где последовательность независимых случайных величин с нулевыми средними значениями, дисперсиями и ограниченными моментами порядка при некотором обратимо устойчивый монический фильтр.

Итак, обозначаем истинную систему буквой Если задана структура модели (4.4)

то естественно проверить, принадлежит ли истинная система (8.7) множеству, определяемому (8.8). Введем, таким образом,

Это множество не пусто именно тогда, когда структура модели допускает точное описание истинной системы. Это можно также записать в виде

Хотя такое предположение в практических приложениях, безусловно, не реально, оно раскрывает во многих отношениях полезные свойства оцениваемых моделей.

При выполнении предположения можно дать более точный вариант условий

Лемма 8.1. Допустим, имеет место а входная переменная выбирается по правилу

причем фильтры

и

устойчивы, квазистационарная последовательность. Тогда условие выполняется.

Доказательство. Для замкнутой системы имеем

Условия устойчивости означают, что фильтры в (8.11) устойчивы. Таким образом, (8.6) следует из теоремы 2.2. Кроме того, (8.2) и (8.5) непосредственно вытекают из (8.11) и предположений устойчивости.

Информация, содержащаяся в данных. Набор данных представляет собой источник информации об истинной системе. К нему должна подгоняться выбранная структура модели (Читатель, если необходимо, мог бы в этом месте вновь просмотреть раздел 4.5.) Структура описьюает множество моделей содержащее отыскиваемые наилучшие модели. Идентифицируемость структур моделей касается вопроса, могут ли различные векторы параметров описывать одну и ту же модель в множестве см. определения Связанный с этим вопрос заключается в том, позволяет ли последовательность данных различить две разные модели в множестве. Напомним, что, следуя определению 4.1 (линейная стационарная) модель задается фильтром Будем называть набор данных информативным, если существует возможность различить разные модели. Таким образом, введем следующее понятие.

Определение 8.1. Квазистационарная последовательность данных является вполне информативной по отношению к множеству моделей если для любых двух моделей из этого множества равенство

выполняется только в случае при почти всех со.

С учетом того, что

(8.12а) можно переписать в виде

Заметим, что предел в (8.12) существует в силу (8.6) и теоремы 2.2. Напомним также (4.109) и определение равенства моделей (4.113).

Определение 8.2. Квазистационарная последовательность данных является информативной, если она вполне информативна но отношению к множеству моделей, состоящему из всех линейных стационарных моделей.

Понятие информативных последовательностей данных очень тесно связано с понятиями постоянно возбуждающая, достаточно общая входная последовательность и т.д. Оно будет детально обсуждаться в гл. 14 в связи с планированием эксперимента. Здесь приведем непосредственное следствие определения 8.2.

Теорема 8.1. Квазистационарная последовательность данных является информативной, если спектральная матрица для строго положительно определенная для всех .

Доказательст во. Рассмотрим (8.12) для произвольных линейных моделей Обозначим Тогда, нримеияя теорему 2.2 к (8.12), получаем

где

Поскольку является строго положительно определенной, отсюда следует, что почти всюду, что доказывает теорему.

Некоторые дополнительные понятия и обозначения. В определении 4.3 структура модели была определена как дифференцируемое отображение, для которого предсказатели и их градиенты устойчивы для каждого Чтобы облегчить анализ, усилим это условие.

Определение 8.3. Будем говорить, что структура модели равномерно устойчива, если семейство фильтров является равномерно устойчивым.

При выполнении определим аналогично (4.106)

и

Система (8.7) может, таким образом, быть записана в виде

Разность будем обозначать