14.5. Выбор интервала дискретизации и предварительного фильтра

Процедура дискретизации данных, порождаемых системой, является неотъемлемой частью цифровых систем сбора данных. Дискретизация, как таковая, неизбежно ведет к потере информации, и важно выбрать моменты получения наблюдений так, чтобы эти потери были незначительными. В этом разделе будем предполагать, что сбор информации производится в равноотстоящие моменты времени, и обсуждение, таким образом, будет касаться выбора интервала дискретизации

Наложение спектров. Потеря информации, происходящая в результате дискретизации, лучше всего описывается в частотной области. Допустим, что интервал дискретизации сигнала равен Т:

Обозначим частоту дискретизации тогда частота Найквиста Далее, хорошо известно, что гармонический сигнал с частотой, превышающей после дискретизации невозможно отличить от соответствующего гармонического сигнала из частотного интервала

Это следует из простых формул тригонометрии. Таким образом, та часть спектра сигнала, которая соответствует частотам, превышающим будет интерпретироваться как вклад более низких частот. Это - явление побочных низкочастотных составляющих; частоты появляются под предполагаемыми именами. Это означает также, что спектр дискретного сигнала будет представлять собой суперпозицию различных частей исходного спектра:

Здесь спектр непрерывного во времени сигнала, определяемый как

а — спектр дискретного сигнала:

Эффект (14.64) часто называют складыванием гармошкой исходный спектр "складывается гармошкой” (и суммируется), образуя в результате спектр дискретного сигнала.

Предварительные фильтры для защиты от наложения спектров. Информация о частотах, превышающих частоту Найквиста, теряется. Поэтому важно принять меры против искажения интересующей части спектра ниже частоты Найквиста. Это достиг ается посредством нведсния предварительного фильтра

(здесь оператор дифференцирования). По аналогии с формулами теоремы 2.2 спектр сигнала на выходе фильтра равен

В идеале должно быть таким, что

Это может быть достигнуто только приближенно. В идеальном случае (14.69) имеем

а это означает в соответствии с (14.64), что сигнал

будет иметь спектр

Таким образом, при наличии фильтра (14.67) и (14.69) достигается такой спектр дискретного сигнала, на котором не сказывается эффект наложения спектров. В связи с этим такой фильтр также называют фильтром, защищающим от наложения спектров. В соответствии со сказанным такой фильтр всегда должен применяться перед процессом дискретизации, если ожидается, что энергией сигнала на частотах, превышающих частоту Найквиста, пренебречь нельзя.

Эффект уменьшения шума при защите от наложения спектров. Обычно сигнал состоит из полезной составляющей и возмущения, а спектр возмущения является

более широкополосным, чем спектр сигнала. Тогда интервал дискретизации выбирается, как правило, так, чтобы большая часть спектра полезной составляющей была ниже При этом фильтр, защищающий от наложения частот, вырезает существенную часть высокочастотной составляющей шума. Допустим,

где полезный сигнал, шум. Пусть спектр Тогда дискретный сигнал с предварительного фильтра равен

где дисперсия шума

Из этого вьфажения видно, как высокочастотные составляющие шума накладываются на низкочастотную часть интервала -соу, таким образом, переносят туда энергию шума. Исключение высокочастотных составляющих с помощью защищающего от наложения спектров предварительного фильтра (14.69) приводит к уменьшению дисперсии на величину

но сравнению со случаем полного отсутствия предварительного фильтра. Это уменьшение шума существенно, если спектр шума имеет значительную энергию выше частоты Найквиста.

Защищающие от наложения спектров фильтры при сборе данных. Прокомментируем роль фильтров, предназначенных для защиты от наложения спектров, в приложениях к идентификации систем. Допустим сначала, что система не является системой цифрового управления, т. е. входной сигнал в непрерывном времени не является кусочно-постоянной функцией. Это может быть случай, когда сбор данных производится в процессе нормальной работы системы. Нели при этом входной сигнал низкочастотный и не имеет энергии на частотах, превышающих то это означает, что вся полезная информация на выходе также лежит ниже при условии, что процесс линеен. Тогда можно применить защищающий от наложения спектров фильтр с частотой среза и провести дискретизацию с интервалом без потери информации. Если входной сигнал не является низкочастотным, защищающий от наложения спектров фильтр будет искажать полезную информацию одновременно с уменьшением уровня шума. Если выбирается таким образом, что частота Найквиста (равная частоте среза фильтра) превышает полосу пропускания системы, потеря полезной информации незначительна. Заметим, что в этом случае предварительный фильтр, защищающий от наложения спектров, должен быть применен также и к входному сигналу.

Рассмотрим теперь случай, когда входной сигнал является кусочно-постоянным на интервале дискретизации. Тогда, очевидно, после дискретизации такой сигнал принимает кусочно-постоянные значения и нет необходимости в применении предварительного фильтра. Ступенчатые изменения во входном процессе, однако, содержат высокие частоты, которые могут проходить на выход. Защищающий от наложения спектров фильтр, примененный к выходному процессу, может, таким образом, исказить полезную информацию. Существуют три способа решения этой проблемы:

Рис. 14.3. Дискретизация, представленная в частотной области. Сплошная линия: частотные характеристики процесса, - ширина полосы пропускания; штриховая линия: спектр шума; точечная линия: частотные характеристики фильтра, предназначенного для защиты от наложения спектров, частота Найквиста

1. Достаточно быстрая дискретизация, если процесс хорошо затухает выше частоты Найквиста. Тогда высокочастотные составляющие выходного сигнала, соответствующие данному входному сигналу, незначительны.

2. Рассматриваем защищающий от наложения спектров выходной фильтр как часть процесса и моделируем систему от ее входа до выхода фильтра (это может привести к необходимости увеличить порядок модели)

3. Поскольку защищающий от наложения спектров фильтр известен, включаем его в модель в качестве известной составной части и пропускаем предсказанный выходной сигнал через фильтр перед тем, как использовать его в критерии идентификации (этот подход проиллюстрирован в (14.75) и

Решение 1 наиболее естественно; его принцип изображен на рис. 14.3.

Замечание: для целей управления может оказаться хорошей идея применения низкочастотного фильтра к кусочно-постоянной входной последовательности дискретизированных данных. Это будет также полезно при решении 1.

Некоторые общие аспекты выбора Если время проведения всего эксперимента ограничено, а стоимость сбора данных внутри этого интервала времени нулевая, с точки зрения теории информации очевидно, что чем чаще проводится дискретизация, тем лучше. Более редкая дискретизация приводит к набору данных, который является подмножеством максимально возможного набора и, следовательно, менее информативным. Однако эффективность новой информации обычно убывает с ростом частоты дискретизации (ср. с рис. 14.4). В том идеальном случае, когда добавление новых данных ничего не стоит, существуют лишь два момента, способные воспрепятствовать выбору такой высокой частоты дискретизации, которая ограничивается техническими возможностями. Первый состоит в том, что построение дискретных моделей с очень маленьким интервалом дискретизации по сравнению с естественными постоянными времени является неустойчивой в численном отношении процедурой (все полюса сосредоточиваются в окрестности 1). См. задачу Второй момент состоит в том, что подгонка модели может производиться в основном на высоких частотах (см. последующее обсуждение относительно смещения) Последняя проблема должна решаться с помощью предварительной фильтрации данных с целью перераспределения смещения, как объяснялось в гл. 13. Первая проблема должна, вероятно, решаться посредством подгонки моделей в непрерывном времени непосредственно к моделям тина (2.23) по данным с высокой частотой дискретизации.

Другая идеализированная ситуация состоит в том, что время эксперимента само но себе дармовое, а вся стоимость связывается со сбором и обработкой информации. Тогда можно назначить, скажем, сбор измерений и выбрать

так, чтобы последовательность данных была как можно более информативной. Величина будучи значительно больше, чем интересующие нас постоянные времени системы, будет при этом обеспечивать данные с малой информацией о динамических свойствах. Малая величина с другой стороны, не позволит значительно уменьшить уровень шума, и данные будут мало информативными по этой причине. Выбор хорошего значения должен, таким образом, представлять компромисс между уменьшением уровня шума и соответствием динамическим свойствам.

Если модель предназначается для использования в целях управления, в игру вступают некоторые другие аспекты. Интервал дискретизации, для которого строится модель, должен быть таким же, как и в рассматриваемой задаче управления (если мы не хотим производить пересчет от одного интервала дискретизации к другому). Модель с большой частотой дискретизации часто оказывается неминимальнофазовой [32], а инерционные системы могут моделироваться с элементом задержки на несколько интервалов дискретизации. Такого рода эффекты могут породить некоторые проблемы при построении управления и будут, следовательно, оказывать влияние на выбор

При выборе полезно иметь в виду асимптотический результат (9.99). Он показывает, насколько малым должно быть отношение порядка модели к размеру выборки для того, чтобы достичь в рассматриваемой задаче определенной точности при заданном спектре шума.

О смещении. В гл. 13 показано, что расхождение между модельной и истинной передаточными функциями можно оценить с помощью квадратичной нормы (см.

Здесь отношение спектра профильтрованного входного сигнала к спектру шума:

В этих формулах указана зависимость от При стремлении к нулю частотный диапазон, на котором производится подгонка в (14.71), растет. Обычно, однако, динамические свойства системы и модели таковы, что быстро затухает на высоких частотах, поэтому вклад высоких частот в (14.71) будет незначительным, даже при широкополосном входном сигнале. Важным исключением является случай, когда модель шума связана с динамикой, как в ARX-структуре в которой Тогда

не стремится к нулю при возрастании со, и при убывании аппроксимация в (14.71) распространяется на очень большие частоты. Это может привести к любопытным результатам, как показано в [417]. В таких случаях высокая частота дискретизации нежелательна, не говоря уже о вероятных численных трудностях. Эти эффекты можно компенсировать соответствующей предварительной фильтрацией или расширением горизонта предсказания (который оказывает аналогичное воздействие), как описано в гл. 13. В любом случае важно учитывать влияние величины на распределение смещения,

О дисперсии. Дисперсия оценки параметра, полученной для конкретного набора данных, будет зависеть от средней информации на один такт. Как отмечалось выше, при этом имеет место компромисс между уменьшением уровня шума при небольшой частоте дискретизации и малой информацией относительно свойств динамики, которая содержится в данных. Рассмотрим этот компромисс на простом иримере.

Пример 14.4. Оптимальная дискретизация.

Рассмотрим систему в непрерывном времени

или

где широкополосный шум (почти белый шум) с дисперсией где ширина его частотного диапазона (т. е. наименьший интервал дискретизации, при котором дискретная версия и действительно белая). В качестве простого предварительного фильтра будем использовать интегратор

Здесь среднее значение полезного сигнала на интервале дискретизации, а последовательность независимых случайных величин с дисперсией (если Используем множество моделей с ошибкой на выходе

и пусть входной сигнал является гармоническим (кусочно-постоянным) частоты

При вычислении предсказателя (14.74) мы игнорировали предварительный фильтр, что может быть разумным при достаточно малом Чтобы распространить рассуждение также на большие значения можно учесть предварительный фильтр (14.73) и положить предсказание равным

(Заметим, что при малом второй член в знаменателе Асимптотическая дисперсия оценки а определяется теперь теоремой 9.1, а именно

где

Для выражения (14.74) имеем

и

Таким образом, имеем

Видно, 410 при неофаничеппом возрастании это выражение стремится к бесконечности как

это - эффект слабой информации о при редкой дискретизации.

Рис. 14.4. График зависимости дисперсии оценки от интервала дискретизации выражение (14.79); 2 использование (14.76)

Аналогично после некоторых вычислений получаем стремление к бесконечности как при стремлении к нулю; это - эффект недостаточного уменьшения уровня шума при частой дискретизации. Таким образом, мы имеем пример упомянутого выше компромисса.

Точный вид предсказателя (14.76) приводит к аналогичным, но более сложным выражениям. На рис. 14.4 показаны выражение (14.79) и соответствующая точная величина дисперсии как функции для Рисунок позволяет сделать следующие выводы:

1. Оптимальный выбор интервала дискретизации близок к значению постоянной времени системы.

2. Значительно хуже завысить значение чем занизить его: дает дисперсию, в 105 раз превышающую оптимальную, а дисперсию, превышающую оптимальную не более чем в 10 раз.

Выводы. Подведем итог обсуждению вопроса о частоте дискретизации.

— Дискретизация с большой частотой приводит к численным проблемам, подгонке модели в высокочастотном диапазоне и к редким возвратам для проведения дополнительной работы.

— При возрастании интервала дискретизации выше естественных постоянных времени системы дисперсия резко возрастает.

— Оптимальный выбор при фиксированной длине выборки примерно соответствует постоянным времени системы. Они, однако, не известны точно, а завышение их значений может привести к очень плохим результатам.

Все эти аспекты показывают, что частота дискретизации, примерно в десять раз большая, чем частотный диапазон системы, должна представлять собой хороший выбор в большинстве случаев. Заметим, что это обсуждение касается выбора частоты дискретизации для построения модели. При дешевом сборе данных можно всегда осуществить в процессе эксперимента возможно более частую дискретизацию и окончательный выбор произвести с помощью предварительной цифровой фильтрации и разрежения исходной записи данных.