4.3. Модели в пространстве состояний

В пространстве состояний связь между входными сигналами, шумами и выходными сигналами записывается в виде системы дифференциальных или разностных уравнений первого порядка посредством введения вспомогательного вектора состояния Этот способ описания линейных динамических систем стал преобладающим со времени первой работы Калмана [204], посвященной вопросам прогнозирования и линейно-квадратичного управления. В нашем случае этот способ особенно хорош тем, что имеющиеся физические представления о механизмах работы системы обычно гораздо проще учесть в моделях в пространстве состояний, чем в моделях, рассмотренных в п. 4.2.

Непрерывные по времени модели, основанные на физических представлениях. Для большинства реальных систем формирования моделей на основе физических соображений проще осуществлять в непрерывном, а не дискретном времени, поскольку большинство законов природы (законы Ньютона, законы Кирхгоффа и т.п.) также сформулированы в непрерывном времени. Иначе говоря, обычно моделирование приводит к записи соотношений типа

Здесь матрицы соответствующей размерности соответственно при -мерном состоянии и -мерном входном сигнале). Точкой над символом обозначена операция дифференцирования по времени Кроме того, — это вектор параметров, обычно включающий неизвестные значения физических характеристик, модулей материалов и т.п. Моделирование ведется, как правило, в терминах тех переменных состояния х, которые допускают физическую интерпретацию (положения, скорости и т.п.), в результате чего наблюдаемые выходные сигналы становятся известными комбинациями переменных состояния. Пусть измерения, которые можно было бы получить с помощью идеальных защищенных от помех датчиков:

Применяя оператор дифференцирования можно переписать (4.59) в виде

откуда следует, что оператор перехода от и к в формуле (4.60) представляется в виде

Таким образом, мы получили непрерывную по времени модель передаточной функции системы, включающую в себя как неточности измерений, так и помехи, действующие в системе (4.59). Имеется несколько вариантов описания влияния шумов и помех. Здесь мы сначала остановимся на самом простом способе. Другие варианты сосредоточены в формулах (4.81) и (4.93)-(4.96), в задаче 4.G.7 и в п. 14.5. Пусть измерения подвергаются выборочной дискретизации в моменты времени и значения помех в эти моменты времени равны . Тогда наблюдаемый выходной сигнал представляется в виде

Дискретизация передаточной функции. Как говорилось в имеется несколько способов перевода описания в явную запись дискретного по времени представления. Допустим, что входной сигнал, как и в формуле (2.3), в интервале дискретизации Тпостоянен:

Тогда можно без труда найти решение дифференциального уравнения (4.59) в интервале между моментами получив

где

(см., например, [32]).

Введя оператор сдвига вперед на единиц времени, можно переписать (4.64) в виде

или

Следовательно, в эквивалентной дискретизованной по выборочным данным форме уравнение (4.62) может быть записано как

При выполнении предположения (4.63) это представление является точным. Однако заметим, что в силу (4.65) функция может зависеть от 0 достаточно сложным образом.

Пример 4,1. Сервомотор на постоянном токе,

В этом примере будет изучен физический объект, о динамических характеристиках которого имеется некоторый набор представлений. Рассмотрим электродвигатель на постоянном токе, показанный на рис. 4.5, структурная схема которого изображена на рис. 4.6. В этой системе входным

Рис. 4.5. Двигатель постоянного тока

Рис. 4.6. Структурная схема двигателя постоянного тока

сигналом является прилагаемое напряжение и, а результирующий ток в цепи ротора описывается хорошо известным соотношением

где обратная электродвижущая сила, обусловленная вращением схемной рамки в магнитном ноле:

Ток создает вращающий момент

на оси мотора, на которую также действует момент со стороны нагрузки. Тоща закои Ньютона даст следующее уравнение:

где момент инерции ротора и нагрузки, а описывает вязкое трение. Предполагая, что индуктивностью схемной рамки можно пренебречь, можно преобразовать предыдущие уравнения к форме записи в пространстве состояний

где

Допустим теперь, что момент тождественно равен 0. Чтобы определить динамику электродвигателя, приложим теперь кусочно-постоянный входной сигнал и дискретизуем выходной сигнал с выборочным интервалом Тогда уравнение состояния (4.72) может быть записано как

где

и, в силу (4.65),

Допустим также, что фактическое измерение величины угла осуществляется с некоторой ошибкой

Эта ошибка в основном обусловлена ограниченной точностью (например, из-за градуировки потенциометра) и может быть описана последовательностью независимых случайных величин с нулевым средним и известной дисперсией (рассчитанной по ошибкам округления в процессе измерений) при условии, что частота замеров не слишком велика. Таким образом, имеем модель

где белый шум. Естественным предсказателем для такой модели является

Этот предсказатель параметризуется введением только двух параметров ( Отметим, что если бы на основе физических соображений мы всего-навсего заключили бы, что наша система второго порядка, то нам пришлось бы использовать ARX-модель или модель выходной ошибки второго порядка с четырьмя настраиваемыми параметрами. Как мы увидим, уменьшение числа параметров оказывает некоторое положительное воздействие на процедуру оценивания: дисперсии оценок параметров начинают убывать. Однако это достигается не бесплатно. Предсказатель (4.76) является гораздо более сложной функцией от двух своих параметров, чем соответствующие ARX-модель или модель выходной ошибки с их четырьмя параметрами.

Уравнения (4.64) и (4.62) образуют стандартную дискретную по времени модель в пространстве состояний. Далее мы для простоты примем и опустим соответствующий индекс. Мы также введем произвольную параметризацию матрицы, связывающей между собой и . В результате получим

что соответствует

Хотя выборочная дискретизация непрерывного по времени описания является вполне естественным способом построения модели (4.77), могут встречаться и такие приложения, в которых задача сразу ставится в дискретном времени, когда с самого начала матрицы параметризованы введением вектора , а не опосредованно через (4.65).

Представление шума и стационарный калмановский фильтр. В представлении (4.77) и (4.78) мы могли бы продолжить моделирование свойств шума -Непосредственный, но абсолютно корректный путь сводится к постулированию модели шума в виде

где белый шум с дисперсией -параметры в операторе могут быть в некоторой части теми же, что и в , а могут быть и дополнительными параметрами самого шума.

Однако при описании в пространстве состояний более привычно производить расщепление полного сигнала шума на собственно шум измерений (или наблюдений) и шум объекта воздействующий на состояния, так что уравнение

(4.77) записывается в виде

Здесь считаются последовательностями независимых случайных величин с нулевыми средними и ковариациями

Помехи часто могут быть сигналами известной физической природы. В примере 4.1 изменение нагрузки являлось "шумом объекта”, а неточность измерений с помощью углового датчика потенциометра — шумом измерений. В подобных случаях предположение о том, что эти сигналы - белые шумы, далеко не всегда является реалистическим. И тогда для вывода соотношений (4.81) и (4.82) потребуется осуществлять дополнительное моделирование и расширение вектора состояния. См. задачу

Перейдем теперь к задаче прогнозирования сигнала из формулы (4.81). Именно к этому описанию в пространстве состояний применяется знаменитая калмановская фильтрация (более обстоятельно вопрос изложен в работе [11]). Условное математическое ожидание при заданных (т.е. от бесконечности в прошлом до момента предположении, что процессы гауссовские, дается формулами:

Здесь определяется как

где положительно полуопределенное решение стационарного уравнения Риккати:

Отсюда прогнозирующий фильтр может быть записан в виде

Матрица это матрица ковариации ошибки в оценке состояния:

Представление в виде обновлений. Ошибка предсказания

в формуле (4.83) относится к той части сигнала которая не может быть спрогнозирована по данным о прошлом: она является Обозначая ее, как и в формуле (3.25), через мы находим, что формула (4.83) может быть

переписана в виде

Ковариация может быть определена по формулам (4.87) и (4.86):

Поскольку ошибка входит явно, это представление известно как представление в пространстве состояний в форме обновляющего процесса Используя оператор сдвига можно совершить очевидные преобразования

которые выявляют связь с общей моделью (4.4) и с непосредственным описанием сигнала с помощью соотношения (4.80). См. также задачу

Непосредственно параметризованная форма обновлений. В формуле (4.88) калмановское усиление рассчитывается по достаточно сложным образом, посредством решения уравнения (4.84). Достаточно привлекательной представляется идея обойти уравнение (4.84) и параметризовать R-матрицы посредством прямой параметризации через параметры Этот путь имеет то важное преимущество, что предсказатель (4.85) оказывается более простой функцией от 0. Такую модельную структуру мы назовем непосредственно параметризованной формой обновлений.

R-матрицы, описывающие свойства шума, содержат матричных элементов (не считая симметричных), в то время как в калмановский коэффициент усиления К входит пр элементов Нели мы не располагаем априорной информацией об -матрицах и, таким образом, нуждаемся для их описания во введении большого числа параметров, то лучшей альтернативой стала бы параметризация в том числе и в силу желания сохранить небольшой. С другой стороны, знание о системе может быть пополнено введением в (4.81) имеющихся физических представлений, например, о том, что шум объекта сказывается только на одной переменной состояния и не зависит от шума измерений, дисперсия которого может быть известной. Тогда параметризация с помощью соотношений (4.82) и (4.84) может быть осуществлена с использованием меньшего числа параметров, чем требовалось бы при непосредственной параметризации

Замечание. Параметризация в терминах (4.82) приводит также к параметризации элементов матрицы из формулы Непосредственная параметризация (4.88) включала бы дополнительные параметры для А, что, однако, никак не сказывалось бы на прогнозе (сравните также задачи

Непосредственно параметризованные формы обновлений включают в себя и модели черного ящика, которые находятся в тесной связи с рассмотренными в п. 4.2.

Пример 4.2. Параметризации совместной формы записи.

Пусть в формуле (4.88)

Говорят, что матрицы записаны в совместной форме или в канонической относительно наблюдателя форме (см., например, [198]). Нетрудно проверить, что для так записанных матриц

и

так, что

где

Используя эти соотношения, мы получили последовательную параметризацию ARMAX-модели (4.15) и (4.16) для .

Соответствующая параметризация модели с многими выходами является более специфической процедурой и описывается в Приложении

Нестационарные предсказатели. Предполагается, что для прогнозирующих фильтров (4.83) и (4.84) доступны все данные о прошлом от минус бесконечности. Если нет данных до момента то их можно было бы заменить нулями, тем самым инициируя рекурсию (4.83) при со значения и назначив штраф за субоптимальность оценок. Именно этой идеей мы руководствовались в

Преимущество моделей в пространстве состояний, что они позволяют ценой некоторого усложнения процедуры прогнозирования дать правильную интерпретацию неполноте информации о предыстории для Если информация о предыстории системы до момента дается через оценку начального состояния и характеристику неопределенности этой оценки

то формулы фильтра Калмана определяют следующие соотношения для одношагового прогноза (см. [11]):

Здесь определяемое формулой (4.92), при достаточно общих предположениях быстро сходится к из формулы (4,84) (см., например, [11]). Таким образом, во многих задачах для упрощения вычислительных процедур разумно непосредственно использовать предельные значения оценок (4.83) при учете (4.84). Вирочем, когда записи данных короткие, решение уравнений (4.90)- (4.92) обеспечивает нас возможностью корректного исследования переходных свойств оценок, включая, быть может, параметризацию неизвестных начальных условий Ясно, что стационарный подход, основанный на соотношениях (4.83), (4.84), представляет собой частный случай формул (4.91), (4.92) при условии, что

Выборочная дискретизация непрерывного шума объекта. Как и в случае системной динамики, мы можем получить более глубокое представление о природе непрерывного по времени шума объекта. Теперь мы можем выписать возмущенную модель в пространстве состояний

Здесь формально введенный белый шум с ковариационной функцией

где — дельта-функция Дирака. Когда входной сигнал, как и в формуле (4.63), кусочно-постоянен, соответствующее дискретное по времени уравнение состояния приобретает вид

где даются формулой (4.65), последовательность независимых случайных векторов с нулевыми средними и матрицей ковариации

Вывод можно найти в книге Острема

Модели в пространстве состояний. Суммируя вышеизложенное, отметим, что модели в пространстве состояний обеспечили нас широким спектром возможностей моделирования. Можно использовать физическое моделирование в непрерывном времени, дополненное или лишенное соответствующего описания непрерывного по времени шума, с целью формирования структур с физическими параметрами Можно использовать физическую параметризацию динамики системы в сочетании с формальной (по методу черного ящика) параметризацией характеристик шума такой, например, как непосредственная параметризация формы обновлений (4,88), или принимая такую модель шума, которая также является физически параметризованной с помощью соотношений (4.93)-(4,96). Наконец, мы можем использовать структуры черного ящика в пространстве состояний, как скажем, в примере 4.2. В этом случае описание входо-выходного соответствия моделью черного ящика имеет преимущество гибкости в выборе такого представления, которое может обеспечить достижение лучших количественных характеристик процесса параметризации (задача 16Е.1).