8.5. Линейные стационарные модели: частотное описание предельной модели

Теорема 8.2 описывает предельные точки оценки как величины, минимизирующие среднеквадратичную ошибку предсказания среди всех моделей структуры . В случае это означает, что истинное описание системы (см. теорему 8.3), а в противном случае модель будет отличаться от истинной системы. В этом разделе остановимся на некоторых выражениях, характеризующих это расхождение между предельной моделью и истинной системой для случая линейных стационарных моделей. См. также задачу

Функция для разомкнутой системы. Используя фундаментальное выражение (2.65) можно записать

где спектр ошибок предсказания При выполнении предположения имеем

где аддитивный шум имеет спектр

Тогда для линейной структуры модели получаем ошибки предсказания

Применяя теорему 2.2 к (8.64), приходим к выражению для :

при условии, что независимы. Здесь разность в (8.15). Следовательно,

Отсюда получаем характеризацию

в частотной области.

Модель с фиксированным шумом. Для модели с фиксированным шумом соотношения (8.66), (8.67) можьо переписать в виде

где члены, независящие от , отсутствуют. Пусть . В этом случае предельная модель

является наилучшей среднеквадратичной аппроксимацией с частотным взвешиванием зависящим от модели шума и от спектра входного сигнала которая может интерпретироваться как модель отношения сигнал/шум.

Независимая параметризация модели шума. Рассмотрим теперь модель с независимой параметризацией модели шума (8.45), (4.125). Пусть Тогда можно записать

где

- спектр ошибки, т. е. спектр ошибки на выходе . В этом случае видно, что производится подгонка под -норме, которая априори неизвестна» но косвенно определена соотношением (8.70) через модель шума

Чтобы лучше понять задачу минимизации (8.70), факторизуем спектрошибки

для монической устойчивой и обращаемо устойчивой Заметим, что если то равняется ; см. и (8.63). Тогда

где

( зависит от но мы опускаем эти аргументы). Так Ямонические и так как обращаемо устойчива, можно записать

важно отметить, что член суммы, соответствующий равен нулю. Таким образом,

Заметим также, что

В итоге (8.70) можно переписать в виде

который показывает, что обратная модель шума аппроксимирует обратное значение спектрального множителя спектра ошибки (определенного в (8.71)) в смысле квадратичной нормы, определяемой спектром ошибки. Менее формально,

таково, что спектр модели шума наиболее близок к спектру ошибки в выбранном множестве спектров модели шума.

Общий случай. В общем случае (8.66), когда модель шума имеет общие параметры с передаточной функцией, невозможно дать четкую формальную характеризацию получаемых в результате оценок. Полезно, однако, и интуитивно привлекательно посмотреть на предельную оценку в как на компромисс между подгонкой по квадратичной норме в частотной области,

и подгонкой агектра модели к спектру ошибки,

как это описано соотношением (8.75). Эта интерпретация, хотя и приблизительная, полностью проясняет суть дела.

Пример 8.5.

Рассмотрим систему

с

На систему не действуют возмущения. Входной сигнал является псевдослучайной двоичной последовательностью (см. гл. 14) с основным периодом порядка длины выборки, откуда для всех

Эта система идентифицировалась методом ошибки предсказания с квадратичным критерием и без предварительной фильтрации ошибки на выходе модели, имеющей структуру

Диаграммы Боде истинной системы и получающейся в результате модели, представлены на рис. 8.2. Видно, что модель дает хорошее описание низкочастотных свойств, но она плоха на высоких частотах. В соответствии с (8.68) предельная модель характеризуется параметром

поскольку Так как амплитуда для истинной системы падает в 100 — 1000 раз для ясно, что ошибки на более высоких частотах дают крайне малый вклад в критерий (8.81); как следствие хорошее низкочастотное приближение.

Рассмотрим теперь вместо (8.80) ARX-структуру

соответствующую предсказателю линейной регрессии

При применении тех же данных эта структура дает описание модели, представленное на рис. 8.3, имеющее лучшее низкочастотное приближение. В соответствии с обсуждением, проведенным в этом разделе, эта предельная модель представляет собой компромисс между подгонкой к спектру ошибки и минимизацией компоненты предельного вектора оценок

Рис. 8.2. Диаграммы Боде истинной системы и идентифицированной модели (8.80). Сплошные линии - графики амплитуд, штриховые линии - графики фазы, жирные линии истинная система, тонкие линии - оценка

Рис. 8.3. Диаграммы Боде истинной системы и идентифицированной модели (8.82). Обозначение кривых аналогично рис. 8.2

Рис. 8.4. Функция веса в (8.83)

Функция изображена на рис. 8.4. Она придает высоким частотам в раз больший вес, чем низким. Следовательно, по сравнению с (8.81) критерий (8.83) штрафует высокочастотные отклонения гораздо больше. Это объясняет различные свойства предельных моделей, полученных для структур моделей (8.80) и (8.82).