Глава 5. МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Наиболее распространенным языком для описания динамических систем несомненно являются линейные стационарные модели, однако во многих случаях могут оказаться не только полезными, но и необходимыми и другие способы описания. В этой главе будут рассмотрены линейные нестационарные модели и несколько нелинейных моделей. Будут также приведены некоторые формальные соображения о том, что понимается под моделью в общем случае. Это дополнит рассуждения по поводу общих линейных моделей из раздела 4.5.

5.1. Линейные нестационарные модели

Весовая функция. В гл. 2 система была названа линейной, если линейная комбинация входных сигналов порождает ту же линейную комбинацию выходных сигналов. Тогда в общем случае линейная система может быть задана соотношением

Если положить

то окажется, что

где это реакция (отклик) в момент времени на единичный входной импульс в момент Функция известна также под именем весовой функции, поскольку она задает веса, с которыми входной сигнал в момент представлен в выходном сигнале в момент

Описание (5.1) в принципе аналогично описанию (2.8) для случая стационарной модели за исключением того обстоятельства, что последовательность имеет индекс времени . В общем случае можно было бы ввести нестационарную передаточную функцию

и повторить большинство рассуждений из раздела 4.2 для нестационарных передаточных функций. Однако практически нестационарность проще исследовать в пространстве состояний.

Нестационарные модели в пространстве состояний. В моделях в пространстве состояний (4.88) нестационарность ввести просто, достаточно допустить, что все матрицы являются функциями времени:

Тогда предсказатель, соответствующий принимает вид

Заметим, что последнее соотношение можно переписать в виде

где

Аналогично, можно было бы рассматривать нестационарные аналоги моделей (4.81) и (4.82), допуская, что матрицы являются функциями от . В результате соответствующий предсказатель будет задаваться соотношениями

По сути дела нестационарное описание может возникнуть и как модель стационарной системы в двух общих случаях: (1) когда выборочные интервалы дискретизации не равны между собой, и (2) проводится линеаризация. Если состояние системы (4.59) - (4.60) наблюдается в моменты времени , то,

по-прежнему, можно при переходе от к гл применять формулы (4.63)-(4.65) со значением Если интервал дискретизации времени непостоянен, то уравнение (4.64) соответствует нестационарной системе. Близкая ситуация возникает, когда разные переменные измеряются с разной частотой. Тогда в формуле (5.4) матрица оказывается зависящей от времени, чтобы можно было различать состояния, которые наблюдаются в момент

Линеаризация нелинейных систем. Линеаризация поведения нелинейной системы в окрестности некоторой траектории является, быть может, главной причиной использования модели нестационарной линейной системы. Пусть нелинейная система описывается уравнениями вида

Допустим также, что все составляющие помехи: и , являются белыми шумами малой интенсивности, а номинальное (без помех поведение системы соответствует входной последовательности и и траектории Пренебрегая нелинейными членами, можно записать, что разности

удовлетворяют уравнениям

где

Здесь мы пренебрегли перекрестными членами, включающими помехи (типа в связи с предположением о малости шумов. В формулах белые шумы со следующими ковариационными характеристиками

Эта модель представляет собой линейную нестационарную аппроксимацию модели (5.8) в окрестности номинальной траектории.