3.4. Управление

Задача управления состоит в том, чтобы посредством соответствующего выбора входной последовательности обеспечить желаемое поведение выходного сигнала системы. Вполне естественно, что для адекватного проектирования механизма управления будет выбираться то или иное описание системы.

Классический подход к компенсации ведущего запаздывания. Классическая теория управления, как она в 1940-х годах была развита в работах Боде, Николса, Найквиста и других ученых, опирается на некоторое графическое представление частотной характеристики Обычный подход состоит в задании закона управления в цепи обратной связи

где желаемое значение выходного сигнала: уставка или эталонный сигнал. Тогда, пренебрегая помехами, можно записать уравнение замкнутой системы в виде

и выбор осуществляется так, чтобы скомпенсированная частотная характеристика

обладала заданными свойствами, которые обычно проверяются на соответствующих графических представлениях. Для устойчивости системы (3.47) особенно важны значения частотной характеристики в окрестности некоторых частот типа частоты среза, где

Отсюда следует, что для успешного применения этого метода важнейшее значение имеет достоверность сведений о значениях в соответствующих частотах (см., например, [221]).

Управление по минимуму дисперсии. Решение задачи управления но минимуму выходной дисперсии системы (3.1) основано на идее такого выбора выходного сигнала, который обеспечивает минимальную дисперсию выходного сигнала в окрестности нулевого среднего значения. Допустим, что выходной сигнал запаздывает относительно входного сигнала на время к, т.е.

Отсюда следует, что выбор будет определять значение но не более ранние значения. Теперь можно записать (см. (3.33))

где зависит только от Таким образом, этот член не зависит от и Кроме того, независимы, поскольку не зависят от и (см. также соотношения (3.30) -(3.33)). Следовательно,

Ясно, что дисперсия минимальна, когда Из (3.29) и (3.31)

видно, что это достигается, если выбрать регулятор в виде

Стало быть, уравнение (3.49) определяет регулятор по минимуму дисперсии. Заметим, что по существу расчет по формуле (3.49) совпадает с расчетом -шагового предсказателя.

В частном случае к - 1 последняя формула упрощается:

Необходимо также отметить, что эти регуляторы имеют смысл только тогда, когда система устойчива по обращению (т.е. функция не имеет нулей на плоскости с вырезанным открытым единичным кругом).

Формирование спектра шума. Рассмотрим теперь для простоты случай единичного запаздывания (т.е. Допустим, что желаемое поведение выходного сигнала системы (3.1) задается уравнением

где монический фильтр.

Ясно, что при мы получили бы управление по минимуму дисперсии. Другие фильтры R будут определять управление по дисперсионным характеристикам более высоких порядков, допуская при этом хорошую физическую интерпретацию и обеспечивая выбор более обоснованных компромиссов между затратами на управление и характеристиками выходного сигнала.

Нетрудно убедиться в том, что регулятор вида

при подстановке в (3.1) приводит к уравнению (3.51). Таким образом, это и есть искомый регулятор (для случая отсутствия нулей у функции вне открытого единичного круга).

Синтез заданной замкнутой системы. Рассмотрим снова случай к и допустим, что целью проектирования системы управления является формирование выходного сигнала вида

где эталонный сигнал, некоторая заданная передаточная функция замкнутой системы. Поскольку соотношение (3.53) получается, если прогнозируемая величина имеет вид

Возьмем регулятор

и подставим его в (3.20). Это дает

Мы видим, что выбор

и

дает искомое поведение (3.54). Отметим, что для обеспечения физической возможности функция должна включать хотя бы одно звено запаздывания. Кроме того, этот регулятор является реализуемым только тогда, когда у функции нет нулей вне единичного круга.