16.2. Априорные соображения

Тип модели. Процесс выбора тина используемой модели является достаточно субъективным и в некотором плане не зависящим от множества данных Обычно этот выбор является результатом компромисса между упоминавшимися вариантами оценки, дополненными более иррациональными факторами типа готовности (или обеспеченности) машинных программ и степенью знакомства (привычности) с некоторыми моделями. Прокомментируем кратко рациональные аспекты процесса выбора.

Сердцевиной задачи идентификации является компромисс между экономией и гибкостью. Как получить хорошее согласие с данными при малом числе параметров? Ответ обычно состоит в том, что нужно использовать априорные сведения о системе, интуицию и изобретательность. Это как бы подчеркивает тот факт, что идентификацию, по-видимому, не удается полностью автоматизировать. И поэтому в задаче минимизации (16.4) более предпочтительны модели с физической параметризацией. Насколько возможен выбор хорошо обоснованной физически параметризованной модельной структуры, будет определяться нашей интуицией и пониманием физики процесса. А это, конечно, зависит от характера прикладной задачи.

Для физических систем, как правило, наилучшим способом отображения априорного знания является введение модели с непрерывным временем типа (4.59). А это приводит к тому, что и по программистским усилиями, и по машинному времени расчет ошибок и осуществление минимизации в (7.120) становится трудоемкой задачей. И как в плане алгоритмической сложности, так и особенностей формы критериальной функции предпочтительными становятся модели черного ящика. Под этим подразумевается модель типа (4.33), в которой осуществляется настройка параметров под данные наблюдений без попыток дать им физическую интерпретацию.

Общая рекомендация заключается в том, чтобы начинать с простого. К более сложным структурам модели следует переходить только тогда, когда более простые модели не прошли тестов на подтверждение. К особо простым и робастным схемам минимизации (метод наименьших квадратов, см. раздел 7.3) ведут

модели линейной регрессии типа (4.12). Именно они часто образуют первый хороший выбор в задачах идентификации.

Следует отметить, что использование априорных физических соображений вовсе не означает того, что будет выбрана какая-то причудливая структура модели с непрерывным временем. Некоторые размышления о природе связей между наблюдаемыми сигналами могут служить хорошей подсказкой при выборе структур моделей. Это было продемонстрировано в примере 5.1, где на основе достаточно простых априорных соображений была построена полуфизическая модельная структура типа линейной регрессии. В общем случае следует подумать над тем, не существует ли такого нелинейного преобразования данных (типа (5.17) или логарифмической шкалы), которое упростило бы подгонку линейной модели к преобразованным данным. По этому поводу заметим, что полезные переопределения входо-выходных сигналов можно осуществить на основе имеющейся, быть может, информации о характере нелинейности датчиков и приводов. Вопросы преобразования данных рассмотрены в работах Кашьяпа и Рао [210], Бокса и Кокса [61], Дэниела и Вуда [90] и Кэррола и Рапперта [77].

Порядок модели. Решение задачи (16.2) обычно требует подкрепления в виде данных о функционировании. Однако нередко область возможных значений порядков модели устанавливается на основе физической интуиции и особенностей рассматриваемой прикладной задачи. Кроме того, еще до обработки данных удается только по величине и качественным особенностям данных определить, сколько параметров имеет смысл оценивать. При малых выборках неразумно пытаться искать модель в классе моделей сложной структуры.

Родственная задача сводится к вопросу о том, сколько различных по темпу временных процессов можно реализовать на одной и той же модели. Как показало решение задачи в чисто вычислительном плане трудно рассчитывать на адекватное отображение более чем двух или трех декад частотного диапазона с использованием одной и той же модели. Все соображения об интенсивностях выборки, о подборе соответствующих возбуждающих сигналов и продолжительности записей данных будут говорить о том, что не следует ставить цель — охватить в одном эксперименте более трех декад постоянных времени. Если система является настолько жесткой, что в ее временных характеристиках представляют интерес существенно различающиеся между собой постоянные времени, то нужно тогда ставить вопрос о создании двух (или большего числа) моделей, каждая из которых относилась бы к своему частотному диапазону и отличалась бы соответствующей правильно подобранной частотой выборочных измерений. Во всех прикладных задачах при использовании высокочастотных моделей низкочастотная часть динамических характеристик выглядит как результат пропускания сигналов через набор интеграторов (их число определяется избытком числа полюсов на низких частотах); подумайте о представлении в виде диаграммы Боде. И это нужно твердо знать, используя высокочастотную модель. Соответственно, высокочастотная часть динамики системы смотрится как статическая (мгновенно действующая) связь на фоне низкочастотной модели. В результате в модели появляется член без запаздывания

Параметризация модели. Вопрос параметризации модели по существу относится к вычислительному аспекту идентификации. Ищутся такие параметризации модели, которые корректны, т. е. обладают тем свойством, что ошибки округления и другие неточности в определении одного из параметров мало влияют на входо-выходные характеристики модели. Эта проблема широко известна в области методов цифровой фильтрации и менее изучена в литературе по идентификации. Действительно, структуры моделей входо-выходных соответствий в виде стандартных разностных уравнений типа (4.7)-(4.33) могут быть довольно чувствительными к численным ошибкам. См., например, задачу (сравните с задачей Выбор способа

параметризации линейной модели по сути дела означает выбор конкретного представления в пространстве состояний. Дифференциально-разностные модели соответствуют канонической форме записи уравнения наблюдений из примера 4.2. Другие способы выбора переменных состояния, например, цифро-волновые фильтры или лестнично-решетчатые фильтры (сравните с разделом 10.1), дают более качественную условную параметризацию (см. работы [301] и [310]). В работе [139] вместо предложено в связи с рассматриваемой задачей вести параметризацию по степеням