Приложение 6А. Вывод асимптотических свойств оценки спектрального анализа.

Рассмотрим оценку передаточной функции (6.46). Выведем в этом приложении асимптотические свойства (6.58) и (6.59). Чтобы избежать слишком технического изложения, некоторые элементы вьюода будем давать на эвристическом уровне. Напомним, что здесь подразумевается детерминированной квазистационарной последовательностью и, следовательно, справедливо (6.47).

Тогда, используя сначала лемму 6.1, а затем соотношение (6.47), и пренебрегая исчезающим членом получим

Разлагая теперь в ряд Тейлора (штрих обозначает дифференцирование по

и замечая, что в соответствии с (6.56а)

находим, что числитель в приблизительно равен

а знаменатель —

здесь мы пренебрегли эффектами порядка (порядок, более малый по величине, чем при Таким образом, уравнение принимает вид

что представляет собой (6.58).

Для того чтобы получить выражение для дисперсии, сначала на основе (6.28) запишем равенство

Изучим числитель этого выражения. Запишем его приближенно как сумму Римана (см. соотношение (6.41а) можно было бы все время сохранять дискретную форму):

Суммируя от до используя (6.31) и пренебрегая членом получаем

Таким образом, возвращаясь к интегральной форме и используя (6.47), (6.56) и тот факт, что для больших у функция сконцентрирована около получаем

По тем же причинам знаменатель приблизительно равен Итак, находим

и справедливость (6.59) установлена.