5.3. Нелинейные модели в пространстве состояний

Общее множество моделей. Наиболее общей формой описания конечномериых систем является задание уравнений вида

Здесь — последовательности взаимно независимых случайных величин, вектор неизвестных параметров. Серьезная проблема заключается в том, чтобы построить предсказатель, основанный на уравнениях (5.22) и формальной вероятностной аксиоматике. Фактически известно, что за исключением отдельных частных случаев нелинейная задача предсказания не имеет конечномерных решений.

Тем не менее для специальных случаев или посредством некоторой аппроксимации нереализуемых оптимальных решений предсказатели для уравнений (5.22), конечно, можно сконструировать. Что касается метода аппроксимации, то по нему имеется обширная литература, см., например, Язвински [192] и Андерсон и Мур [11]. Во всех случаях получающийся предсказатель имеет вид

Здесь для упрощения нотации входо-выходные измерения в момент обозначены как

В этой записи модель удобно использовать при решении вопросов идентификации. Таким образом, (5.23) можно рассматривать как основную модель, не обращая внимания на способ перехода к форме (5.23) от исходного описания (типа (5.22)). Это согласуется с представлением о моделях как способах прогнозирования, принятым нами в главе 4; разница только в том, что здесь модели (5.23) не являются уже линейной функцией от прошлых значений данных. Как и в гл. 4, модель (5.23) может быть дополнена предположениями относительно свойств соответствующей ошибки предсказания

например, ее матрицы ковариации или плотности распределения вероятностей .

Нелинейная имитационная модель. Проще всего получить предсказатель для уравнений если пренебречь шумом объекта и положить

Такой предсказатель называют имитационной моделью, поскольку формируется на основе модели (5.22) в отсутствие шума, но с настоящим входным сигналом. Ясно, что и при использовании непрерывных но времени представлений

имитационное моделирование также просто:

Пример 5.2. Делигнификация.

Рассмотрим проблему снижения содержания лигнина при химической обработке в растворе древесной щепы. Но существу, это составляет содержание процесса варки целлюлозы для получения пульпы при изготовлении бумаги.

Введем следующие обозначения:

- содержание лишина в момент

- абсолютная температура в момент

- содержание водородного сульфита

- содержание водорода

Тогда из основных химических законов вытекает, что

Здесь - постоянная Аррениуса, а другие постоянные реакции. Моделирование (5.27) с измеренными значениями для заданных значений в определяет последовательность значений содержания лишина В этом случае выходным сигналом системы является также содержание лигнина, так что в . Эти предсказанные или смоделированные значения могут впоследствии сравниваться с фактически зарегистрированными значениями для того, чтобы можно было оценить величину ошибки, сопутствующей конкретному выбору 0. Подобное применение подробно описано в работе .