16.3. Выбор структуры модели на основе предварительного анализа данных

Под предварительным анализом данных понимается вычислительная процедура, которая не сводится к определению окончательной модели системы. Такой анализ может оказаться полезен при отыскании подходящих модельных структур.

Оценивание типа модели. Вообще говоря, область ориентированных на данные модельных структур представляется недостаточно разработанной. Исключение составляет кратко обсуждаемая методология определения порядка в линейных структурах. Понятно, что различные непараметрические методы могут оказаться полезными при отыскании подходящих нелинейных преобразований данных или при изучении вопроса о том, какие типы зависимостей между данными наблюдений следует исследовать. В литературе по математической статистике такие процедуры рассматриваются (например, Дэниел и Вуд [90] и Парзен [318]), однако они еще не нашли применения в решении прикладных задач идентификации.

Одна частная задача составляет исключение: оценка степени нелинейности. Она состоит в том, чтобы ответить на вопрос, можно ли объяснить наблюдаемые данные в рамках линейной теории или нужны нелинейные структуры? Соответствующие критерии проверки основаны на соотношениях между моментными и спектральными характеристиками высоких порядков (выше второго), которые вытекают из линейной теории. (См. работы Биллингса и Вуна [49], Райбмана [333], Хабера [156] и Варлаки, Тердика и Лотоцкого [413].)

Оценивание порядка. Порядок линейной системы можно оценить разными способами. Методы, основанные на предварительном анализе данных, распадаются на следующие группы.

1. Исследование спектральных оценок передаточной функции.

2. Проверка рангов выборочных матриц ковариации.

3. Коррелирование переменных.

4. Изучение информационной матрицы.

О каждом из этих подходов будет кратко рассказано.

1. Спектрально-аналитические оценки. Непараметрическая оценка из формулы (6.82) будет определять значимую информацию о величине резонансных пиков, высокочастотных срезов и фазовых сдвигов. Все это помогает при выборе порядков моделей, которые необходимы, чтобы адекватно отобразить динамику системы (интересующую нас часть ее). Хотя заметим, что по сравнению с непрерывной во времени диаграммой Боде истолкование дискретной диаграммы Боде в терминах нулей и полюсов может оказаться недостоверным. Поэтому при использовании наблюдений надо соблюдать осторожность.

2. Проверка рангов матриц ковариации. Пусть истинная система описывается уравнением

для некоторой последовательности значений шума Пусть также наименьшее число, для которого такая запись возможна ( - истинный порядок). Пусть, как обычно,

Предположим сначала, что Тогда из (16.10) следует, что матрица

будет при невырожденной (при условии, что сигнал является постоянно возбуждающим) и вырожденной при Таким образом, величину можно было бы использовать в качестве статистического критерия проверки гипотез о порядке модели. Впервые это было предложено в работе Вудсайда (442]. Однако изучение связи между вырожденностью матрицы (16.12) и порядком соответствующей модели восходит к работе Ли [230] и алгоритму реализации из работы и Калмана [128] (см. также лемму

При наличии в уравнении (16.10) шума, вводя соответствующие пороги, по-прежнему можно использовать матрицу (16.12), если только отношение сигнал/шум достаточно большое. Для случая, когда это не так, Вудсайд [442] предложил использовать "усиленную” матрицу

где через обозначена оценка влияния на

Если влиянием нельзя пренебречь, то лучше использовать другие корреляционные векторы. Если некоррелированы, то можно было бы взять

и обнаружить, что

является невырожденной при и вырожденной при (сравните с обсуждением состоятельности метода инструментальных переменных Замена выборочным средним определяет приемлемый критерий. Если скользящее среднее порядка (при этом и некоррелированы),то можно было бы ввести величины

или любые комбинации таких корреляторов с (16.14). Этот критерий определения порядка рассмотрен Уэлстедом [425] и Уэлстедом и Ройасом [428] и был, очевидно, впервые применен к многомерным структурам в работе и Винарта [409].

3. Коррелирование переменных. Задача определения порядка заключается в том, чтобы решить: включать еще одну переменную в модельную структуру или не включать. Такой переменной для формулы (16.10) может быть (задача определения истинного порядка) или наблюдаемые значения возможной помехи . В любом случае надо решить, добавляет ли эта новая переменная что-нибудь к объяснению выходной величины Оценкой этого служит корреляция между Однако при оценке связи между необходимо учитывать, что при исследовании меньшей модельной структуры эта связь уже до некоторой степени учтена, поэтому корреляцию следует считать только между что еще не объяснено” (т.е. невязкой . В регрессионном анализе такой подход получил название

метода канонических корреляций или частичной корреляции (см. Дрейпер и Смит [101]). См. также обсуждение в разделе 16.5.

4. Информационная матрица. Из теоремы 4.1 следует, что если у некоторых модельных структур оценки порядка моделей окажутся завышенными, то свойства глобальной и локальной идентифицируемости будут утрачены. Это означает, что матрица не будет иметь полный ранг в точке (предельное значение), а следовательно, информационная матрица (7.77) будет вырожденной. Поскольку в алгоритме Гаусса-Ньютона используется обращение информационной матрицы, то естественным критерием проверки того, не переоценен ли порядок модели, будет число обусловленности этой матрицы. (См. работы Янга, Джекмэна и Макмюрти [450], Мера Седерстрема [366] и Стойки и Седерстрема

При использовании метода инструментальных переменных происходит примерно то же самое. В этом случае при переоценке значений порядков оказывается вырожденной матрица из формулы

(это видно из формул Таким образом, проверка степени обусловленности эгой матрицы является естественной особенностью инструментального подхода.

Многомерный случай: параметризация модели. Задача параметризации многомерной модели черного ящика заключается в выборе мультиипдекса в постановке . В литературе предложены некоторые методы ее решения. Одни из вариантов выбора представляют собой индексы наблюдаемости определенные в доказательстве леммы Индексы зависят от ранговой структуры матрицы которая, в свою очередь, в отсутствии помех связана с ранговой структурой матрицы из формулы (16.12). В работе [150] Гвидорци предложил использовать матрицу для определения индексов наблюдаемости и при наличии помех, аналог усиленной матрицы (16.13). Для той же цели и Винерт [409] используют оценки (16.15) и (16.16) (в отсутствии помех).

Другой способ рассмотрен в работе ван Овербэка и Льюнга [312]. В этом случае используется модельная структура с перекрытием и в процессе минимизации критерия при слабой обусловленности информационной матрицы происходит переключение с одной параметризации на другую. Авторам удалось найти связь между степенями обусловленности этой матрицы и матрицы ковариации состояний.