Глава 14. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

Планирование идентификационного эксперимента включает в себя различные вопросы выбора, например, какие сигналы измерять и когда их измерять, с какими сигналами обращаться и как с ними обращаться. Оно также включает в себя более практические аспекты, такие как, чем обусловить формирование сигнала до их дискретизации (выбор предварительных фильтров) и как произвести (если можно) улучшение этих свойств впоследствии (например, удалением трендов).

Планируемые для идентификационного эксперимента переменные в некотором смысле более важны, чем многие другие переменные, перечисленные в разделе 12.1. В то время как планируемые переменные, связанные с различными моделями и методами, могут быть сформированы на ЭВМ, экспериментальные данные можно изменить только посредством проведения нового эксперимента, который может оказаться дорогостоящим и требующим значительного времени. Следовательно, имеет смысл полностью продумать планирование эксперимента с тем, чтобы сгенерировать достаточно информативные данные.

В этой главе обсуждаются различные вопросы выбора при планировании эксперимента. Некоторые основные принципы обсуждаются в разделе 14.1, а в разделе 14.2 формулируется понятие информативных экспериментов. Оптимальное планирование входных сигналов, изучаемое в разделе 14.3, основано на матрице ковариаций оценок параметров, а критерий планирования, относящийся к частотным свойствам линейных систем, формулируется в разделе 14.4. Выбор интервала дискретизации обсуждается в разделе 14.5, а вопросам предварительной обработки собранных данных посвящен раздел 14.6.

14.1. Несколько общих вопросов

Планирование переменных. При необходимости идентифицировать динамические свойства физической системы следует ответить на целый ряд вопросов. Прежде всего определение системы может быть не задано: какие сигналы должны рассматриваться как входные величины, а какие - как выходные? Суть этого вопроса в том, где следует расположить датчики (для измерения выходных величин процесса) и какими сигналами следует управлять (входные величины) с тем, чтобы "возбуждать” систему в течение эксперимента. Необходимо также подчеркнуть, что с процессом могут быть связаны такие сигналы, которые безусловно должны рассматриваться как входные величины (в том смысле, что они воздействуют на систему), даже несмотря на невозможность, невыполнимость или недопустимость управления ими. Если они измеряемы, желательно рассматривать их среди других измеряемых входных сигналов и при построении моделей трактовать их именно таким образом, даже

несмотря на то, что с операционной точки зрения они должны рассматриваться скорее как (измеряемые) возмущения. См. рис. 1.1.

Когда уже решено, где и что измерять, следующий вопрос - когда измерять. Наиболее часто измерение сигналов производится с использованием постоянного интервала дискретизации и в этом случае необходимо выбрать эту величину.

Выбор входных сигналов оказывает существенное воздействие на наблюдаемые данные. Входные сигналы определяют режим работы системы и то, какие составляющие и элементы системы возбуждаются в процессе эксперимента. Свобода пользователя в выборе входных характеристик может существенно различаться в зависимости от приложений. В промышленных процессах, например, вообще не разрешается манипулировать системой в процессе производства. Для других систем, таких как экономические и экологические, просто нет возможности воздействовать на систему с целью проведения идентификационного эксперимента. С другой стороны, в лабораторных приложениях и на стадиях разработки нового оборудования выбор входных величин имеет, возможно, лишь амплитудные и мощностные ограничения.

С выбором входного сигнала связаны два различных аспекта. Один касается свойств второго порядка и, таких как спектр и взаимный спектр между входным сигналом и действующим (в цени обратной связи) шумом. Другой касается "формы” сигнала. Можно работать с такими входными сигналами, как сумма синусоид, или как профильтрованный белый шум, или псевдослучайный сигнал, или двоичный сигнал (предполагающий только два значения), и т. д.

Наконец, при проведении идентификационного эксперимента следует выбрать значение числа накапливаемых входо-выходных измерений.

Основополагающие принципы. Перечисленные вопросы будут подробно рассматриваться в последующих разделах. Здесь будут приведены некоторые из основополагающих принципов.

Обозначим совокупность перечисленных переменных, связанных с экспериментом, посредством является, таким образом, частью 2), определенного в разделе 12.1.) Тогда асимптотические свойства получаемой оценки могут быть описаны посредством

предельного значения и посредством

асимитотической матрицы ковариаций оценки параметра (см. гл. 8 и 9). Эти выражения могут быть приведены к другим представляющим интерес величинам, как например, соответствующая оценка передаточной функции (см. гл. 12).

Полученные в гл. 8 и 9 формальные результаты для методов ошибки предсказания с некоторой натяжкой можно привести к следующим формулировкам:

Модель наилучшим образом аппроксимирует систему при выбранном (Заметим, что "наилучшая аппроксимация” системы обычно зависит от приложенного входного сигнала, см. пример 8.2.)

если достаточно велико, чтобы содержать а таково, что никакая другая модель не является эквивалентной рассматриваемой системе при выбранном

См. теоремы 8.2, 8.3 и 9.1 и (9.17) соответственно.

Смещение. Предложение (14.3) сформулировано также в духе результатов раздела 13.3. Оно предполагает, что если смещение может быть значительным, разумно допустить, что эксперимент соответствует ситуации, в которой должна использоваться модель. Конечно же, это может не выполняться, поскольку часто цель идентификации состоит в нахождении подходящих условий функционирования. При отыскании линейной модели в случае, когда истинная система может оказаться нелинейной, результат (14.3) дает в качестве разумного совета режим проведения эксперимента в окрестности номинальной точки функционирования системы. Для линейной системы распределение смещения и его зависимость от входа обсуждались и иллюстрировались в гл. 13.

Информативные эксперименты. Предположение (14.4) соответствует понятиям информативных последовательностей данных, введенным определениями 8.1 и 8.2. Очевидно, исходная цель состоит в планировании таких экспериментов, которые приводят к данным, позволяющим различать всевозможные модели в предполагаемых множествах моделей. Эта проблема будет далее обсуждаться в разделе 14.2. Заметим, что при § предположения (14.3) и (14.4) оставляют открытым вопрос о выборе внутри достаточно информативного множества его значений.

Минимизация дисперсий. При выборе значения в соответствии с единственным требованием допустимости предельной модели представляет дальнейший интерес выбор минимизирующий матрицу ковариации Формально задача оптимального планирования входного сигнала может быть сформулирована как

где скалярная мера того, насколько велика матрица множество допустимых планов, удовлетворяющих также ограничениям, возможно налагаемым (14.3) и (14.4). В (12.30) был дан очевидный пример вида

Выражение (14.5) приводит к следующему принципу выбора

Малая величина дисперсии какой-либо компоненты в является результатом высокой чувствительности предсказателя к этой компоненте. Следовательно, выбор входных и выходных величин следует осуществлять таким обра чтобы предсказанные значения выходного сигнала были чувствительны относительно параметров, которые важны для рассматриваемых приложений.

Этот совет может использоваться в качестве общего принципа планирования эксперимента. Он связан с проблемой локальной чувствительности, с выбором входных переменных, а также их характеристик, и с другими вопросами планирования. Его математическая формализация концептуально ясна, но может привести к техническим затруднениям. В разделе 14.3 будет дана иллюстрация такой формализации для случая планирования идентификационного эксперимента в разомкнутой системе.