13.2. Эвристическое рассмотрение метода настройки оценок передаточной функции в разомкнутом контуре

В практическом плане, быть может, наиболее интересной проблемой представляется исследование степени согласованности При детерминированности проектного выбора в процессе решения таких задач, как моделирование (см. (12.12)) или управление посредством выбора полюсов (см. (12.23)), критерий качества функционирования отражает только эту степень совпадения. Распределение величины смещения естественно рассматривать как наиболее существенную характеристику и в других случаях, так как проектная устойчивость замкнутого контура регулирования будет зависеть от точности оценки .

Как было выявлено в разделе 8.5, выражение (13.1) можно с элементами эвристики трактовать как заключение компромисса между желанием минимизировать

и стремлением подогнать к спектру ошибки

Функции весов. В этом разделе мы воспользуемся формулами (13.5) как эвристическим инструментом для интерпретации и воздействия на распределение величины

смещения

Это означает, что функнию

можно рассматривать как функцию весов, которые определяют распределение смещения. На вид этой весовой функции можно в свою очередь влиять соответствующим выбором:

— входного спектра

— множества моделей шума

— предварительного фильтра

— горизонта предсказания

(напомним о Отметим, что распределение смещения определяется только величиной отношения при этом отдельно взятые значения функций несущественны.

Диаграммы Боде. Для представления весовой функции часто предпочитают пользоваться диаграммой Боде, которая определяет зависимость от Тот факт, что выявление относительной величины ошибок важнее абсолютной величины, имеет некоторый физический смысл. Переходя к относительной ошибке, можно переписать (13.5) в виде

откуда видно, что для оценки распределения величины относительной ошибки характеристику следует ввести в весовую функцию. Другими словами, для обеспечения малости относительной ошибки при малой величине нужно выбрать как можно большие при этих частотах значения функции

Кроме того, поскольку частотная шкала в формуле (13.7) линейна, то для интервала (декады) от 1 до 10 рад/сек нужно выбрать в 10 раз больший весовой коэффициент, чем для декады от 0,1 до 1 рад/сек. Для отражения логарифмического масштаба измерения частоты следует поделить на со весовую функцию. То есть, чтобы обеспечить хорошее совпадение при низких частотах, нужно выбрать величину во столько же раз больше. Подытоживая, находим, что весовая функция

отражает распределение смещения, представленное на диаграмме Боде. По поводу более формализованного определения (13.8) см. задачу

Манипулирование функцией весов. Поскольку весовая функция из формулы (13.5) зависит от в, можно смело утверждать, что во многих случаях она заранее неизвестна. Следует также отметить, что при изменении некоторых из проектных переменных (направленных на изменение 0, распределения смешения) модель шума также меняется. Точно оценить, что произойдет с в при введении, скажем, предварительной фильтрации может быть довольно сложно. Однако исегда известна апостериори а, стало быть, известно, какая весовая функция соответствует текущей оценке. Таким образом, можно осуществить непосредственное

Рис. 13.1. Диаграммы Боде истинной системы и идентифицируемой модели для структуры выходной ошибки (8.80) с использованием высокочастотного предварительного фильтра (сравните с рис. 8.2). Сплошные линии: амплитуда. Штриховые линии: фаза. Жирные линии: истинная система. Тонкие линии: модель манипулирование в эвристическом критерии (13.5) функцией , изменяя значения переменных (13.6), хотя это, возможно, потребует проб и ошибок.

Влияние выбора предварительного фильтра модели шума входного спектра на вполне очевидно. Что касается горизонта предсказания к, то заметим, что

— обычно высокочастотный фильтр, хотя

является полночастотным фильтром. Типичным следствием увеличения к будет повышение степени низкочастотности весовой функции. Более подробное обсуждение можно найти в работе [417]. Влияние подбора величины выборочного интервала будет рассматриваться в разделе 14.5.

Иллюстрация. Несмотря на эвристическую природу критерия (13.5), он является достаточно полезным инструментом для интерпретации и манипулирования распределением смешения. Мы проиллюстрируем это на следующем примере.

Пример 13.1. Воздействие на распределение смещения.

Рассмотрим систему (8.79) из примера 8.5. Получающаяся модель структурно представляет собой модель выходной ошибки и приводит к диаграмме Боде, показанной на рис. 8.2.

Рис. 13.2. Диафаммы Боде для истинной системы и идентифицируемой модели для ARX-структуры (8.82) с низкочастотным предварительным фильтром (сравните с рис. 8.3. Обозначения те же, что и на рис. 13.1)

Рис. 13.3. График весовой функции соответствующей оценке, показанной на рис. 13.2

Это соответствует функции

(не зависящей от 0).

Сравнивая с (13.8), мы видим, что высокочастотная часть диаграммы Боде играет очень небольшую роль из-за резкого обрезания характеристики

Чтобы обеспечить хорошее согласование в высокочастотном диапазоне, пропустим ошибку предсказания через высокочастотный фильтр Баттеруорта пятого порядка с частотой среза 0,5 рад/сек эквивалентно введению фиксированной модели шума вида см. (7.13) и (7.14)). Это превращает весовую функцию в соответствующий высокочастотный фильтр. Диаграмма Боде для соответствующей оценки показана на рис. 13.1. Теперь степень совпадения увеличивается в области высоких частот, хотя ясно, что описание среза четвертого порядка моделью второго порядка сталкивается с определенными трудностями.

Рассмотрим теперь оценку, которая получается посредством применения метода наименьших квадратов к модели ARX-структуры (8.82). Она изображена на рис. 8.3. Если мы хотим получить более хорошее совпадение на низких частотах, то представляется разумным нейтрализовать высокочастотный характер функции в на рис. 8.4 низкочастотной фильтрацией ошибок предсказания. Таким образом, выбирается в виде низкочастотного фильтра Баттеруорта пятого порядка с частотой среза 0,1 рад/сек. Затем к входо-выходным данным, пропущенным через у применяется метод наименьших квадратов. Можно утверждать, что это эквивалентно применению метода ошибки пред сказан и модельной структуре вида

Получающаяся оценка показана на рис. 13.2, а соответствующая весовая функция на рис. 13.3. Очевидно, что достигнуто резкое улучшение степени совпадения на низких частотах.

Теперь можно заметить, что оценки на рис. 13.2 и 8.2 очень похожи. Осталось сообразить, что строить фильтрованные МНК-оценки рис. 13.2 гораздо проще, чем оценки выходной ошибки рис. 8.2, определение которых требует итеративных расчетов.