Приложение 9В. Асимптотическая дисперсия оценки параметра

Результат теоремы 9.1 по асимптотическому распределению не обеспечивает свойства

для определяемой (9.11) и (9.9); левая часть может даже не существовать. В данном приложении рассматривается этот вопрос.

Введем следующие обозначения:

Тогда имеем, как в (9.3),

Предположение теоремы 9.1, что и непрерывность приводят к тому, что существует для которого -

Аналогично, предположение единственности точки минимума обеспечивает существование для которых

(Величины в и как таковые не связаны друг с другом; для удобства они выбираются одинаковыми, что не ограничивает общность рассуждения.) Введем следующие подмножества пространства элементарных исходов:

Пусть дополнительные события. Очевидно, в силу

(здесь переменная - элементарный исход, функциями которого являются случайные величины Пусть обозначает вероятность события Тогда при так как при в силу и равномерной сходимости (см. (9А.28)). Вычислим верхние границы вероятностей. Сначала отметим следующее усиление леммы в предположениях теоремы при условии ограниченности моментов восьмого порядка имеем

Для доказательства в случае см. [250, следствие 2]. Тогда применение неравенства Чебышева к четвертым моментам дает оценки сверху

и

Положим

Тогда для дополнительного события имеем из

Рассмотрим теперь для

В правой части присутствует интегрирование по со. Разбивая область интегрирования на подмножества и находим, что на

(по определению множества . Следовательно, используя символические обозначения,

Второе неравенство вытекает из того, что и принадлежит ограниченному множеству Последнее неравенство следует из и леммы примененной в своем усиленном варианте к сумме случайных величин с нулевыми средними значениями.

Теорема 4.5.2 из [78] обеспечивает теперь сходимость

где - матрица ковариаций асимптотического распределения.

Наконец, перепишем в виде

Взяв математическое ожидание, получаем

или, используя неравенство Шварца,

Для среднего сомножителя правой части применяем леммы к первому члену, показывая его убывание как и используем (в предположении дифференцируемости

для второго члена, показывая, что он убывает как (т.е. в соответствии с (9В.12)). Отсюда получаем

Очевидно, обеспечивают выполнение Таким образом, можно подытожить обсуждение этого приложения следующим образом:

рассмотрим оценку в условиях теоремы 9.1 при дополнительных предположениях ограниченности ограниченности восьмых моментов в (8.4) и трижды непрерывной дифференцируемости Обходимся без предположения при Тогда имеют место соотношения

Замечание. Предположение теоремы 9.1, что стремится к нулю, приводит к достаточно быстрой сходимости что позволяет использовать в асимптотическом выражении вместо .