14.4. Оптимальное планирование эксперимента для моделей черного ящика высокого порядка

В этом разделе будет рассматриваться критерий (14.35) в конкретном виде (12.29), где матрица С обусловливает частотное взвешивание в критерии:

Будет использоваться также асимптотическое выражение ковариационной функции Это означает, что критерий принимает вид

где

Здесь опущен скалярный множитель несущественный для выбора

Этим достигаются два преимущества:

1. Критерий значительно более удобен в аналитических исследованиях, чем критерий конечного порядка

2, Предвзятость, которая упоминалась в конце предыдущего раздела, снимается в том смысле, что планирование эксперимента подготавливается для моделей высоког о порядка, представляющих собой гибкие структуры.

Недостатком является то, что если истинная система действительно принадлежит малому множеству моделей, то планирование, вытекающее из (14.55), не будет оигимальным для этого множества. С другой стороны, примеры раздела 9.4 указывают, что асимптотическое выражение (12.34) в действительности хорошо соответствует и структурам моделей низкого порядка. Результаты планирования, основанные на асимптотическом выражении (14.55) могут, таким образом, быть использованы с определенной степенью доверия.

Критерий планирования. Исходя из (14.55) можно поставить несколько задач планирования. Обсудим здесь задачу минимизации дисперсии входного сигнала с учетом ограничений:

при условии

Другие варианты описаны в комментариях к библиографии и вынесены в раздел задач.

Решим задачу (14.56) в частном случае, когда Это соответствует случаю ненулевого штрафа, соответствующего ошибке в перекрестных членах как в (12.12), (12.20) (в приложениях к разомкнутым системам) и (12.23).

Теорема 14.3. Задача (14.55) и (14.56) при имеет решение

где константа, величина которой удовлетворяет уравнению

Доказательство. При имеем

Эта подынтегральная функция минимизируется в каждой точке при что доказывает одну часть теоремы. Тогда получаем задачу

при условии Введем константу

Тогда из неравенства Шварца имеем

Следовательно,

для всех при условии Равенство достигается для что и доказывает теорему.

Следствие. Рассмотрим задачу (14.56) для общей матричной функции но при дополнительном ограничении, состоящем в том, что эксперимент должен проводиться с разомкнутой системой Тогда по-прежнему решением является (14.57).

Заметим, что оптимальный входной сигнал представляется простым выражением, зависящим от спектра шума и от функции (критерия передаточной функции). Он не зависит от функции Имея этот результат, можно определить оптимальный входной сигнал для разомкнутой системы в частных случаях, которые обсуждались в гл. 12.

Пример 14.2. Расположение полюсов.

Допустим, что предполагается использовать модель для того, чтобы найти регулятор (3.55) в задаче расположения полюсов. Соответствующая матрица была вычислена в (12.23). Следовательно, оптимальный входной сигнал при ограничении на дисперсию реализуется в разомкнутой системе с

Видно, что для вычисления оптимального входного сигнала требуется знать характеристики истинной системы. Даже несмотря на то, что они точно не могут быть известны, выражение (14.61) по-прежнему полезно. Оно говорит, что входную энергию следует сосредоточить там, где

1. Усиление достигает достаточно большой величины:

2. Эталонный входной сигнал имеет достаточно большую энергию: велико.

3. Возмущения значительны: велико.

4. Уменьшение чувствительности за счет обратной связи небольшое: мало.

Эти предложения являются вполне естественными, но полезна их формализация.

Пример 14.3. Обобщенное управление по минимуму дисперсии.

Допустим, модель используется для планирования регулятора (3.52) с целью добиться поведения замкнутой системы типа Тогда, используя следствие к теореме 14.3 и (12.22), оптимальный входной сигнал разомкнутой системы получаем в виде

Минимизация среднеквадратичной ошибки. Рассмотрим теперь критерий среднеквадратичной ошибки в (12.29), в котором вклад смещения и дисиерсии взвешены в общей ошибке. Если объединить результат теоремы 14.3 с результатами раздела 13.3 (см. также задачу получим следующий результат:

Теорема 14.4. Рассмотрим задачу минимизации критерия относительно планируемых переменных

Множество моделей шума обозначим

а функция в критерии имеет вид Минимизация проводится при ограничении на дисперсию входного сигнала Тогда решением является

Здесь выбирается из условия достижения ограничения по энергии входного сигнала, константа, при которой передаточная функция моническая.

Заметим снова, что модель шума может также быть реализована посредством предварительного фильтра либо посредством некоторого горизонта предсказания к. Результат теоремы 14.4 можно получить одновременной минимизацией по обеих компонент среднеквадратичной ошибки, что оказывается возможным. При планировании других переменных, обычно порядка модели, смещение и дисперсия не минимизируются одновременно, и оптимальный выбор связан компромиссом между