10.4. Двухэтапные и многоэтапные методы

Методы, описанные в разделах 10.2 и 10.3 следует рассматривать как основные численные методы параметрического оценивания. Их преимущества заключаются в гарантируемой сходимости (к локальному минимуму), эффективности и их применимости к моделям общей структуры. Тем не менее, в литературе содержится обилие альтернативных способов, как правило относящихся к специальным случаям общей модели линейной структуры (4.33)

(или ее многомерным вариантам). Основная идея тогда состоит в формулировке задачи как задачи линейной регрессии или как последовательности таких задач с тем, чтобы далее применить эффективные линейные методы, описанные в разделе 10.1. Обычно алгоритмы включают в себя два или несколько этапов МНК (или метода инструментальных переменных), используемых для разных подструктур, и, следовательно, они могут быть названы двухэтапными или многоэтапными методами.

В настоящем разделе будет дано краткое описание блоков, из которых строятся такие процедуры. Сочетание методов (инструментальных переменных, МНК, ошибки предсказания, псевдолинейной регрессии) и моделей (с конечной памятью, ARX, ARMАХ и т. д.) в процедурах, содержащих несколько этапов, приводит к огромному многообразию методов идентификации. Нет необходимости все их перечислять. Однако можно понять и исследовать различные их этапы, описанными здесь методами (см. задачи Излагаемая тема интересна вдвойне: она помогает глубже понять литературу по идентификации, а методы могут быть полезны при получении начальных оценок для основных схем раздела 10.2.

Методы бутстрепа. Рассмотрим формулировку задачи оценивания (7.96), соответствующую корреляционному подходу: решить уравнение

где ошибка предсказания записывается в виде

Эта формулировка охватывает несколько общих ситуаций:

- методы инструментальных переменных, когда и определяются соотношениями и (7.100) соответственно;

- методы исевдолинейной регрессии, в которых в (7.99);

- минимизация квадратичного критерия (10.39) для моделей, представимых в виде (7.98), при . Если оценка уже получена (на предыдущей итерации), то естественно определить следующую оценку как решение относительно вектора 0 системы линейных уравнений

Решение можно записать в виде

Эта оценка по существу может быть представлена как оценка МНК (10.2) при соответствующем определении Следовательно, способы, описанные в разделе 10.1, применимы также к (10.64). Алгоритм (10.64) называют методом бутстрепа, поскольку в нем чередуются вычисление 0 и формирование новых векторов Следует отметить, что он не обязательно сходится к решению уравнения (10.63). Анализ сходимости проведен Стойкой и Седерстремом [390] и Стойкой, Седерстремом, Аленом и Солбрандом [402].

Билинейные параметризации. Для некоторых структур моделей предсказатель билинеен по параметрам. Это означает, что вектор параметров может быть разбит на две части

гак, что выход предсказателя

линеен по при фиксированном и линеен по при фиксированном Типичной ситуацией такого рода является ARARX-структура (4.22):

Очевидно, если соответствует А- и В-параметрам, -параметрам, получаем случай билинейной параметризации.

В этом случае естественным способом минимизации функции

представляется последовательное решение квадратичных задач. Положим

Каждая из этих задач является квадратичной задачей минимизации и может быть эффективно решена. Хотя эта процедура имеет некоторое сходство с методом бутстрепа, она, действительно, является процедурой минимизации, приводящей, вообще говоря, к локальному минимуму (ср. задачи

ARX-модели высокого порядка. Допустим, что истинная система определяется уравнением

а для ее идентификации используется ARX-структура порядка

Тогда можно показать (см., например, [171] и [254]), что если число данных стремится к бесконечности вместе с порядком быстрее, чем то модель будет сходиться к истинной системе в следующем смысле:

Это означает, что с помощью ARX-модели высокого порядка можно сколь угодно точно аппроксимировать любую линейную систему. Желательно, конечно, привести эту модель высокого порядка к более удобным вариантам структуры (10.62), причем для этой цели существуют различные возможности:

1) определение как рациональной структуры путем исключения общих множителей [367];

2) применение основанного на балансе реализаций метода редукции модели к передаточной функции [415, 416];

3) применение ARX-модели к последовательности входо-выходных пар где выходной сигнал модели порожденный реально наблюдаемым входным сигналом и (см.

4) использование структуры модели

для оценивания где невязки, соответствующие модели поскольку последовательность известна, модель (10.69) имеет ARX-структуру с двумя входами, а оценки определяются, таким образом, методом наименьших квадратов [280].

Разделение моделей динамики и шума. Для определения динамической части от к в общей линейной модели (10.62) всегда можно использовать метод инструментальных переменных. Расщепляя знаменатель полученной таким образом оценки на один множитель который предполагается общим со знаменателем передаточной функции от , и на другой множитель специфичный только для динамики (обычно постулируется, что один из полиномов, или единичный), можно затем определить

как оценку присутствующего в уравнении шума (ср. с (4.38)). Далее, этот шум можно рассматривать как измеряемый сигнал и применить ARMA-модель

для следующего, отдельного этана идентификации. Этот способ разрабатывался в ряде работ Янга (см., например, [449]

Оценивание ARMA-моделей. Параметры ARMA-модели (10.71), конечно, можно оценить, используя основанный на ошибке предсказания подход. Возможны следующие две альтернативы, избегающие применения итеративных процедур поиска:

1) применение AR-модели высокого порядка к в (10.71) для формирования оценок обновлений с последующим построением ARX-модели

с выходным и входным сигналами соответственно и оцениванием методом наименьших квадратов (ср. с

2) оценивание AR-параметров с использованием метода инструментальных переменных, как объясняется в задаче и модели в качестве МА-модели; в работе Соло [383] описано, как это можно сделать посредством сравнения ковариационной матрицы модели и ее оценки, полученной методом факторизации спектра. Близкие способы описаны также в работах Дурбина [105] и Уолкера [419].