4.6. Идентифицируемость некоторых модельных структур

Определение 4.6 вместе с формулой (4.113) означает, что для глобальной идентифицируемости в точке в необходимо и достаточно, чтобы

В случае локальной идентифицируемости рассматриваются только те значения 0, которые принадлежат к достаточно малой окрестности . Общий подход к проверке свойства локальной идентифицируемости дается критерием, приведенным в задаче

В общем случае глобальная идентифицируемость труднее поддается исследованию. В этом разделе мы кратко рассмотрим только вопросы идентифицируемости физических параметров и приведем некоторые результаты для общего случая одномерной модели черного ящика. Многомерные модели ящика рассматриваются в Приложении

Параметризация в терминах физических параметров. Процесс моделирования физических объектов, как правило, приводит к модели в пространстве состояний в непрерывном времени (4.59)-(4.60), которая в дискретизованной форме представляется в виде (4.62) и при записывается как

Чтобы можно было корректно проверить идентифицируемость с помощью критерия (4.133), нужно провести выборочную дискретизацию передаточной функции и подключить модель шума Я. Имеется и более простой критерий:

Этот критерий действительно отличается от критерия (4.133), поскольку выборочная дискретизация может приводить к возникновению неоднозначности так, что две разные функции могут давать одну и ту же функцию (сравните с Таким образом, выполнение (4.135) не является достаточным для выполнения (4.133). Впрочем, при правильном выборе интервала дискретизации отмеченная неоднозначность не должна приводить к каким-либо серьезным проблемам. Кроме того, возникающие при использовании (4.135) трудности могут быть преодолены посредством параметризации модели шума. При этом условие (4.135) не является и необходимым для выполнения (4.133). Однако в большинстве приложений характеристики шума не столь уж существенны, поскольку по сути дела и в них содержат данные о физических параметрах. Все это означает, что соотношение (4.135) является вполне разумным критерием глобальной идентифицируемости соответствующей модельной структуры в точке 6.

В настоящее время задача проверки (4.135) представляется достаточно трудной. За исключением частных случаев единственным общим методом решения вопросов, возникающих при использовании (4.135) является метод ”грубой силы” (см. примеры в задачах Подробное изучение критерия (4.135) проведено в работе [422], в работе проводится аналогичное исследование для комиартментальных моделей. Можно также упомянуть работу [138].

Модельные структуры с одномерной передаточной функцией. Перейдем теперь к изучению общей модельной структуры одномерного черного ящика (4.33), (4.41). Приведем для начала два простых примера.

Рассмотрим структуру ARX-модели (4.7), (4.9) :

Равенство относительно в условии (4.133) означает, что совпадают многочлены А, откуда в силу равенства для следует, что и многочлены В совпадают. Таким образом, сразу подтверждается вывод о том, что для всех значений параметров модельной структуры (4.136) условия (4.133) выполнены. Следовательно, эта структура является строго глобально идентифицируемой.

Перейдем теперь к структуре модели выходной ошибки (4.25) с порядками При имеем

Вместо являющегося многочленом по степеням , мы будем использовать многочлены по степеням поскольку независимо от величины коэффициента степень многочлена равна Пусть и 0 произвольное значение параметра. Тогда можно записать условие (4.133)

в виде

Поскольку многочлен степени он имеет нулей:

Допустим, что т. е. что многочлены являются взаимно простыми (не имеют общих множителей). Тогда из (4.138) следует, что

(если - нуль кратности то чтобы прийти к заключению, что - нуль многочлена той же кратности, нужно продифференцировать (4.138) ( раз). Таким образом, имеем откуда в свою очередьследует равенство . С другой стороны если многочлены содержат общий множитель, т. е.

тогда для всех 0 таких, что (при произвольном))

будет выполняться равенство (4.138). Таким образом, модельная структура не является ни глобально, ни локально идентифицируемой в точке 0 (многочлен может быть выбран в достаточно близкой окрестности от многочлена . В результате получено, что необходимым и достаточным условием глобальной и

локальной идентифицируемости в точке структуры модели выходной ошибки (4.25) является взаимная простота многочленов в числителе и знаменателе соответственно.

Теперь можно непосредственно обобщить одномерную структуру модели черно ящика (4.33).

Теорема 4.1. Рассмотрим модельную структуру соответствующую уравнению

с вектором параметров , задаваемым соотношением (4.41) через коэффициенты многочленов. Степени многочленов суть и т. д. Модельная структура является локально и глобально идентифицируемой в точке тогда и только тогда, когда выполнены условия (i)-(iv):

(i) у многочленов нет общих множителей

(ii) у многочленов нет общих множителей

(iii) у многочленов нет общих множителей

(iv) если то, кроме того, не должно быть общих множителей и у многочленов

Многочлены со звездочкой соответствуют значению

Отметим, что в некоторых достаточно общих, но частных случаях записи уравнения (4.139), некоторые из условий будут выполнены автоматически. Так, например, если (случай (4.22)), модельная структура является глобально идентифицируемой при всех 0. Отметим также, что некоторые из условий могут не выполняться только при специальным образом выбранных в, принадлежащим к гиперповерхностям в пространстве Таким образом, справедливо следующее следствие.

Следствие. Модельная структура, определяемая уравнением (4.139), является глобально идентифицируемой. Если многочлены являются многочленами нулевого порядка, то соответствующая модельная структура является строго глобально идентифицируемой.

Поиск «истинной» системы на множестве идентифицируемых структур. Продемонстрируем полезность теоремы 4.1, применив ее для решения задачи отыскания такой модельной структуры для которой при заданном описании 8 выполнено соотношение (4.132). Предположим, что описание 8 задается соотношениями

Степени соответствующих многочленов после сокращения всех общих множителей обозначаются и т. д. Эта система (описание) принадлежит к модельной структуре (4.139), если степени всех многочленов модельной структуры но меньшей мере не уступают степеням соответствующих многочленов в описании истинной системы

Пусть выполнено условие (4.141) и пусть то значение вектора парметров 0, которому соответствует описание (4.140):

Очевидно, что структура будет глобально идентифицируемой в точке и будет выполнено соотношение (4.132), если все условия (4.141) будут реализованы

в форме равенств. Однако обычно истинные значения степеней неизвестны и процедура проверки всех комбинаций порядков модели, при которых (4.141) реализуются в форме равенств, была бы обременительной. Результат теоремы 4.1 позволяет утверждать, что такой поиск на множестве порядков не является обязательным - структура глобально идентифицируема в точке при более слабых условиях.

Справедлива следующая переформулировка теоремы 4.1.

Теорема 4.2. Рассмотрим описание 8, заданное соотношениями (4.140) с истинными степенями и т.д. Рассмотрим также модельную структуру из теоремы 4.1. Тогда и соответствует случаю идентифицируемости в точке в в том и только том случае, когда:

С использованием теоремы 4.2 процедура поиска истинной системы на множестве идентифицируемых структур упрощается. Если, например, система 8 может быть задана в виде ARMАХ-модели с конечными порядками то можно положить что определяет некоторую модельную структуру Последовательно увеличивая значение на 1, мы рано или поздно обнаружим структуру, для которой выполнено условие таким образом, установим возможность отыскания единственного описания реальной системы 8. I

Одномерные модели в пространстве состояний. Рассмотрим теперь структуру модели в пространстве состояний (4.88). Вполне очевидно, что матрицы не могут быть заполнены параметрами, поскольку соответствующее входо-выходное описание определяется только параметрами Чтобы получить идентифицируемые структуры, вполне естественно искать такие параметризации матриц, которые содержат параметров, включая коэффициенты двух многочленов степени из числителя и коэффициенты общею монического многочлена степени или некоторого преобразования от этих коэффициентов. Одной из таких параметризаций является каноническая форма записи наблюдателя из примера 4.2, которую можно представить в следующей символической форме:

Здесь единичная -матрица, а косым крестиком отмечены настраиваемые параметры. Это представление является наблюдаемым в силу самого построения.

В примере 4.2 показано, что эта структура находится во взаимно однозначном соответствии с ARMAX-структурой при Из теоремы 4.1 известно,

что она является идентифицируемой в точке в при условии отсутствия у всех рассматриваемых многочленов общего множителя, что означало возможность представления модели порядком, равным наименьшей из степеней Хорошо известно, что для моделей в пространстве состояний это может иметь место только в том случае, когда модель неуправляема и/или ненаблюдаема. Поскольку структура (4.143) наблюдаема по построению, то мы приходим к выводу, что необходимым и достаточным уоговием ее глобальной и локальной идентифицируемости в точке в является управляемость двухвходовой системы Заметим, что этот результат приложим только к структуре в пространстве состояний специального вида (4.143).