6.2. Частотный анализ

Синусоидальное воздействие. Основная физическая интерпретация передаточной функции заключается в том, что комплексное число несет информацию о преобразовании синусоидального входного воздействия (см. (2.32) -(2.34)). Таким образом, для системы (6.1) с

имеем

где

Это свойство дает также ключ к простому правилу определения

Для входного воздействия (6.12) определите амплитуду и сдвиг фазы, полученного на выходе косинусоидального сигнала, и вычислите оценку на основе этой информации. Повторите процедуру для набора частот в представляющем интерес частотном диапазоне.

Этот способ известен как частотный анализ и представляет собой простой метод получения детальной информации о линейной системе.

Частотный анализ корреляционным методом. В связи с присутствием в (6.13) шумовой составляющей точное определение графическими методами может быть затруднительным. Поскольку интересующая нас составляющая выходной переменной является косинусоидальной функцией известной частоты, возможен следующий корреляционный способ устранения шума. Образуем

суммы

Подставляя (6.13) в (6.15) и пренебрегая переходным процессом, получаем

Второе слагаемое в последнем выражении стремится к нулю при и также стремится к нулю третье слагаемое, если не содержит чисто периодической составляющей частоты Если стационарный случайный процесс, для которого

то дисперсия третьего слагаемого в (6.16) убывает как (задача ). Аналогично,

Эти два выражения приводят к следующим оценкам величин

Более детальное описание этого метода содержится в работах Раке [334] и Острема [23]. Повторяя процедуру для нескольких частот, можно получить хорошую картину изменения в интересующей области частот. Оборудование, позволяющее провести такой частотный анализ корреляционным методом, коммерчески доступно.

Преимущество этого метода состоит в простоте получения диаграммы Боде системы, а также в возможности концентрации усилий в интересующем диапазоне частот. Остновным недостатком является то, что многие промышленные процессы не позволяют использовать синусоидальное входное воздействие в режиме нормальной работы. Кроме того, необходимость повторения процедуры для набора частот приводит к увеличению времени эксперимента.

Связь с гармоническим анализом Фурье. Сравнение (6.15) с определением (2.37)

показывает, что

Как установлено в (2.46) для (6.12)

Это сразу приводит (6.18) к выражению

которое с учетом (6.21) означает, что

Здесь со является частотой входного сигнала. Сравнение с (2.53) также приводит к (6.23) как к наиболее разумной оценке (особенно потому, что в (2.53) равно нулю для периодических входных воздействий, что вытекает из следствия к теореме 2.1).