11.5. Рекуррентные псевдолинейные регрессии

Рассмотрим псевдолинейное представление предсказателя (7.98)

и напомним, что эта структура модели включает в себя среди других моделей общую линейную модель с одним входом и одним выходом (4.33). Оценивание 0 в (11.53) методом бутстрепа осуществляется в соответствии с (10.64):

Здесь произведена замена равно-взвешенных сумм в (10.64) суммами с произвольными весами, аналогично (11.33).

Используя тот же подход, как и для рекуррентного метода ошибки предсказания (новая итерация делается в момент получения очередного измерения в предположении, что предыдущая оценка является решением уравнения получаем из (11.54)

С этим алгоритмом связана та же проблема, что и с алгоритмом (11.40): подсчет величину обычно не может быть осуществлен рекуррентным образом. Однако эта проблема решается тем же способом, что и для рекуррентных методов ошибки предсказания. При этом, аналогично (11.47), в качестве приближения для формируется вектор в котором вместо явно входящего параметра подставляются рекуррентно вычисляемые величины. В результате

Таблица 11.1 (см. скан) Классификация некоторых рекуррентных схем идентификации

получаем рекуррентную псевдолииейную регрессию:

Этот алгоритм внешне выглядит так же, как рекуррентный алгоритм наименьших квадратов (11.16). Таким образом, для его реализации можно использовать то же программное обеспечение. Различие состоит в том, что в (11.57) содержит компоненты, формируемые но данным с использованием прошлых моделей. Это, безусловно, влияет на свойства сходимости схемы (см. далее).

Заметим, что для структуры модели (11.53) единственное отличие рекуррентного метода псевдолинейной регрессии от рекуррентною метода ошибки предсказания состоит в том, что должна быть заменена на Для общей структуры модели с одним входом и одним выходом (4.33) соотношение между и задается выражением (10.55).

Семейство рекуррентных методов псевдолинейной регрессии. Применение схемы псевдолинейной регрессии (11.57) к различным частным случаям (11.53) порождает семейство хорошо известных алгоритмов. Случай ARMAX-модели является, возможно, наиболее известным среди них. При задании в соответствии с (11.47) алгоритм (11.57) образует схему оценивания параметров ARMAX-модели. Эта схема известна как расширенные наименьшие квадраты. Другие частные случаи приведены в табл. 11.1.

Асимптотические свойства. Результаты по сходимости схемы рекуррентной псевдолинейной регрессии (11.57) были представлены только для частных случаев табл. 11.1. В связи с отличием от рекуррентного метода ошибки предсказания в том, что заменяется на можно догадаться, что свойства сходимости будут зависеть от соотношения между этими двумя векторами.

Для ARMAX-структуры имеем из (11.48)

Фактически оказывается, что достаточное условие сходимости оценки расширенных наименьших квадратов к истинному значению параметра состоит в том, что

где -полином истинного описания системы. Условие (11.58) часто выражают словами фильтр 1/2 имеет положительную действительную часть, причем его можно трактовать как условие близости к единице (см. задачу Если рекуррентный метод псевдолинейной регрессии применяется к структуре модели с ошибкой на выходе (4.25) (схема Ландау), соответствующее условие сходимости принимает вид

Ссылки и дальнейшие рассуждения и результаты даны в Приложении 11 А.