9.5. Корреляционный подход

Основная теорема. Корреляционная оценка определяется соотношениями (7.96). Ограничимся случаем, исследованным в теореме 8.6, т. е. случаем и линейно формируемых инструментальных переменных.

Таким образом, имеем

Используя тейлоровское разложение, получаем

Это выражение полностью аналогично (9.3) с той лишь разницей, что 0 в заменяется на Анализ (9.72), таким образом, по существу идентичен случаю, уже изученному в разделе 9.2, и результат может быть сформулирован следующим образом.

Теорема 9.2. Рассмотрим определенную соотношениями (9.71). Предположим, что вычисляется с помощью равномерно устойчивой модели линейной структуры и что

- равномерно устойчивое семейство фильтров. Допустим, что последовательность данных удовлетворяет условию раздел 8.2). Допустим также, что при невырождена определена формулой (8.88)) и

Тогда

где

Из (9.71) находим, что

где как и ранее, обозначает антиградиент относительно .

Выражение дисперсии при В предположении существует такое значение для которого последовательность независимых случайных величин с нулевыми средними и дисперсиями Таким образом, получаем для

и

откуда

См. также задачу

Пример 9.5. Ковариация оценки псевдолинейной регрессии.

Рассмотрим опять систему и модель примера 9.2, но допустим, что с-оценка определяется методом псевдолинейной регрессии (7.99); это означает, что

Здесь . При имеем (см.

Следовательно,

поэтому, в соответствии с (9.79),

Сравните с (9.28). Заметим, что всегда.

Методы инструментальных переменных: Представляет интерес применение теоремы 9.2 к случаю инструментальных переменных раздела 7.6. В этом

случае имеем модель

и процедуру (7.115). Допустим теперь, что истинная система задается аналогично (8.93)-(8.95) уравнением

где белый шум с дисперсией не зависящий от Тогда

не зависит от значит, от если система работает в режиме разомкнутой цепи обратной связи. Таким образом, является решением уравнения

как было обнаружено в (8.96). Чтобы получить асимптотическое распределение, предположим единственность этого решения в

Введем также монический фильтр

Подставляя эти выражения в и повторяя полностью аналогичные вычисления при выводе (9.42), получаем следующий результат:

Для оценки метода инструментальных переменных в предположениях (9.81), (9.82) имеем, что

где

Пример 9.6. Ковариация оценки метода инструментальных переменных.

Рассмотрим снова систему (9.20) примера 9.1. Пусть моделью является линейная регрессия (9.21), и пусть а оценивается методом инструментальных переменных с использованием

в качестве инструментальной переменной, и Чтобы оценить (9.84), находим, сравнивая (9.81) и (9.20), что

Следовательно,

и

Значит,

Выражения дисперсии в частотной области Выражения матрицы ковариаций (9.79) и (9.84) в частотной области могут быть получены тем же способом, как для (9.54) и (9.55). Например, для (9.84) находим, что

Здесь задаются соотношениями (7.114) и (9.83) соответственно,

Заметим, что

Асимптотический анализ черного ящика, как в (9.64), может быть проведен и для оценок метода инструментальных переменных, и для псевдолинейной регрессии. Результат состоит в том, что для работы системы в режиме разомкнутой цепи обратной связи соотношение (9.63) по-прежнему справедливо. См. [253].