4.2. Семейство моделей передаточных функций

Быть может, наиболее непосредственным способом параметризации является представление их рациональными функциями, когда параметрами становятся коэффициенты в числителе и знаменателе. В этом разделе мы дадим описания различных способов выполнения такой параметризации. Такие структуры моделей известны также под названием моделей черного ящика.

Структура модели ошибки уравнения. Вероятно, наиболее простое входо-выходное соответствие описывается линейным разностным уравнением

Поскольку в это уравнение белый шум входит как его непосредственная ошибка, модель (4.7) часто называют моделью (структурой модели) ошибки уравнения. В этом случае имеется следующий набор настраиваемых параметров:

Если ввести

то видно, что (4.7) совпадает с (4.4) при выборе

Замечание. Запись переменной в качестве аргумента на самом деле являющегося многочленом от может выглядеть раздражающей. Однако дело просто в том, что такая запись согласуется с обычным определением z-преобразования; см. (2.17).

Мы будем также назьюать модель (4.7) ARX-моделью, где сочетание AR относится к авторегрессионной части а символ X обозначает дополнительный входной сигнал (в эконометрике такой сигнал называют экзогенной переменной).

Рис. 4.1. Структура ARX-модели

В том частном случае, когда выходной сигнал описывается моделью с конечной памятью Такие множества моделей особенно популярны в приложениях, связанных с обработкой сигналов.

Диаграмма сигнальных потоков может быть представлена схемой рис. 4.1. По этой схеме мы видим, что с физической точки зрения модель (4.7), вероятно, не самая естественная; здесь предполагается, что прежде чем сложиться на выходе системы, сигнал белого шума динамически преобразуется через знаменатель системы. Тем не менее у множества моделей ошибки уравнения имеется одна важная особенность, которая и определяет его первостепенное для многих приложений значение: предсказатель приводит к линейной регрессии.

Линейная регрессия. Рассчитаем предсказатель для модели (4.7). Подстановка (4.9) в (4.6) дает

Ясно, что эту формулу было бы проще вывести непосредственно из (4.7). Посмотрим на эту задачу с позиций, обоснованных в п. 3.3: предсказатель (4.10) вполне естествен и вне рамок стохастического подхода, если член в модели (4.7) рассматривать как несущественный или ”не поддающийся прогнозированию”. Таким образом, и в случае детерминированных моделей вполне естественно пользоваться формулой (4.10).

Теперь введем вектор

Тогда (4.10) можно переписать в виде

Это соотношение отражает то важное свойство уравнения (4.7), которое мы уже демонстрировали. Предсказатель представляет собой скалярное произведение известного вектора данных и вектора параметров в. В статистике такую модель

называют линейной регрессией, а вектор регрессионным вектором. Этот класс моделей важен потому, что для определения вектора параметров в можно использовать эффективные и простые методы оценивания.

В том случае, когда некоторые из коэффициентов многочленов известны, мы приходим к линейной регрессии вида

где член известен. См. задачу 4Е.1, а также формулу (5.34). Задача оценивания параметров в линейной регрессии будет рассмотрена в п. 7.3. См. также Приложение II.

Структура ARMAX-модели. Основной недостаток простой модели (4.7) состоит в отсутствии достаточной свободы выбора в описании свойств помехи. Степень гибкости можно увеличить, если описать ошибку уравнения как скользящее среднее белого шума. Это приводит к следующей модели:

Если ввести

то это уравнение можно преобразовать к виду

что согласуется с (4.4), если положить

Здесь

Имея в виду член скользящего среднего (МА) модели модель (4.15) будет называться ARMАХ-моделью. ARMAX-модели стали стандартным средством решения задачи индетификации и проектирования систем в теории управления и эконометрике. В книге Бокса и Дженкинса [62] можно найти разновидность этой модели с введением принудительного интегрирования, известную под названием -модели (здесь I обозначает интегрирование, а -переменная может наличествовать или отсутствовать) и оказавшуюся полезной при описании систем с медленно меняющимися помехами. Она получается посредством замены в формуле (4.15) на и обсуждается в дальнейшем в

Псевдолинейная регрессия. Для модели (4.15) предсказатель получается посредством подстановки (4.16) в (4.6). Это дает

или

Это означает, что формирование прогноза сводится к фильтрации сигналов через динамическое звено со знаменателем передаточной функции Инициация

процедуры в момент требует знания следующих величин:

Если эти данные отсутствуют, то их можно принять равными нулю, в результате чего в прогноз вносится неточность, которая убывает как где максимальный модуль нулей функции Можно также начать рекурсию в момент и включить неизвестные начальные условия вектор .

С предсказателем (4.18) по аналогии с (4.1 2) можно провести следующие преобразования. Добавление к обеим частям (4.18) члена дает

Вводится ошибка предсказания

и вектор

Тогда (4.19) можно записать как

Отметим сходство с линейной регрессией (4.12). Однако уравнение (4.21) не является само по себе линейной регрессией в силу нелинейной зависимости вектора от в. Чтобы подчеркнуть аналогию с (4.12), мы будем называть (4.21) псевдолинейной регрессией.

Другие структуры типа моделей ошибки уравнения. Вместо того чтобы описывать ошибку уравнения в (4.7) как скользящее среднее (см. (4.14)), ее, конечно, можно задать как авторегрессию. Это приводит к следующему множеству моделей

где

которое по аналогии с предыдущим может быть названо ARARX-структурой. Использование в более обшем случае ARMA-описания ошибки уравнения приводит к ARARMAX-структуре

которая конечно включает (4.7), (4.15) и (4.22) как частные случаи. Это позволяет изобразить на рис. 4.2 семейство связанных между собой множеств моделей ошибки уравнения. Связь со структурой (4.4), а также формулы прогнозирования получаются непосредственно.

Структура модели выходной ошибки. Все структуры моделей ошибки уравнения соответствуют тому случаю, когда в знаменателях передаточных функций имеется обший множитель в виде многочлена А. См. рис. 4.2. С физической точки

Рис. 4.2. Семейство моделей ошибки уравнения: модельная структура (4.23)

Рис. 4.3. Структура модели выходной ошибки

Рис. 4.4. С труктура -модели (4.31)

зрения может показаться более естественной независимая параметризация зтих передаточных функций.

Если допустить, что связь между входным и незашумленным выходным сигналами может быть представлена в форме линейного разностного уравнения и что помехи суть белый шум измерений, то можно получить следующее описание:

Если ввести обозначение

то можно переписать модель в виде

Сигнальная блок-схема этой модели показана на рис. 4.3.

Назовем (4.25) моделью (структурой модели) выходной ошибки. Вектор параметров определяется как

Поскольку сигнал из (4.24а) никогда не наблюдается и конструируется по сигналу он должен быть снабжен индексом в, т.е.

Сравнивая с (4.4), мы находим, что что дает естественную формулу

прогнозирования (предсказатель):

С помощью вектора

последнее соотношение можно переписать в виде

которое формально соответствует предсказателю (4.21) для ARMAX-модели. Отмстим, что в (4.29) величины ненаблюдаемы, однако могут быть вычислены с помощью формулы (4.28):

Структура модели Бокса-Дженкинса. Естественным путем развития модели выходной ошибки (4.25) является усложнение модели ошибки на выходе системы. Если описать ошибку на выходе с помощью ARMA-модели, то окажется, что

В каком-то смысле это наиболее естественная конечномерная параметризация, отправляющаяся от описания (4.4): передаточные функции параметризуются независимо как рациональные функции. Множество моделей (4.31) было предложено и изучено в книге Бокса и Дженкинса [62]. Эта модель порождает также семейство, близкое к моделям выходной ошибки. См. рис. 4.4 и сравните с рис. 4.2. В соответствии с (4.6) предсказатель для (4.31) представляется в виде

Общее семейство структур моделей. Структуры, которые были рассмотрены в этом разделе, фактически могут приводить к 32 различным множествам моделей в зависимости от того, какие из пяти многочленов включаются в модель (здесь было явно продемонстрировано только 6 вариантов). Некоторые из этих множеств моделей широко используются на практике, поэтому у нас есть основания привести для них явные алгоритмы и аналитические результаты. Удобства ради мы будем использовать обобщенную модельную структуру

Иногда динамическая связь между включает -тактовое запаздывание, и поэтому некоторые из коэффициентов многочлена В равна 0, т.е.

Возникает идея ввести явную записи этого запаздывания

Однако для упрощения записи мы будем в основном считать, что и пользоваться формулой (4.33). Из формулы (4.33) мы всегда можем вывести соответствующую формулу (4.34), заменяя на .

Таблица 4.1 (см. скан) Некоторые общие модели типа черного ящика как частные случаи записи (4.33)

Для большинства практических целей структура (4.33) является слишком общей. В приложениях обычно один или несколько из пяти многочленов полагаются равными 1. Однако получая алгоритмы и результаты, относящиеся к (4.33), мы также охватываем и все частные случаи, соответствующие более реальным множествам моделей.

Из (4.6) нам известно, что предсказатель для (4.33) имеет вид

Наиболее важные частные случаи (4.33) сведены в табл. 4.1.

Псевдолинейная форма записи (4.35). формула (4.35) может быть также представлена в виде рекурсии

Из (4.36) ошибка предсказания

записывается как

Удобно ввести вспомогательные переменные

и

Тогда

Введем также вектор состояния

Используя вектор параметров

и (4.40), мы можем получить удобную формулу для прогнозирования. Чтобы вывести ее, сначала из (4.38) и (4.39) находим

и

Теперь, подставляя

в формулу (4.43) и заменяя выражением (4.42), находим, что

Следовательно,

Обе формулы (4.36) и (4.45) можно использовать для расчета прогнозов. Следует отметить, что для тех частных случаев обшей модели (4.33), которые были рассмотрены в этом разделе, соответствующие формулы существенно упрощаются.

Непрерывные по времени модели черного ящика. Описание линейной системы можно было бы параметризовать и через непрерывные передаточные функции

После этого можно было бы осуществить настройку параметризованных моделей к наблюдаемым выборочным данным, решая соответствующие дифференциальные уравнения или применяя точные или приближенные процедуры дискретизации (2.24). Кроме очевидных аналогов уже рассмотренных структур, заслуживают упоминания два конкретных множества моделей. В промышленных приложениях широко используются модели систем первого порядка с временным запаздыванием:

Кроме того, в литературе довольно давно (см. также независимо работу [39]) рассматривали разложения в ряды по системам ортонормальных функций:

В качестве одной из таких систем хорошим выбором представляются полиномы Лагерра:

где масштабный временной множитель. Ясно, что в этом случае модель (4.46), как и в формуле (2.23), может быть дополнена моделью значений помехи в выборочные моменты времени.

Многомерный случай: описание с помощью матричных дробей. Рассмотрим теперь случай, когда входной сигнал является -мерным вектором, а выходной

сигнал -мерным вектором. Для большинства из рассмотренных в этом разделе идей имеются непосредственные многомерные аналоги. Проще всего обобщение множества моделей ошибки уравнения (4.7). Получаем

где

По аналогии с (4.9) можно ввести многочлены

Теперь — это матричные многочлены от переменной что означает: это матрица, элементы которой представляют собой многочлены от Отметим, что система по-прежнему описывается уравнением

где

Схема расчета и интерпретация обращения матричного многочлена ничем не отличаются от обсуждавшихся в связи с формулой (3.34). Ясно, что будет -матрицей, элементы которой суть рациональные функции от Факторизацию с использованием двух матричных многочленов называют также (левым) дробно-матричным представлением. Подробное обсуждение этого вопроса можно найти в главе 6 книги Кайлата [198].

До сих пор нами не рассмотрена параметризация (4.49) (т.е. вопрос о том, какие из матричных элементов следует включить в вектор параметров в). Это довольно кропотливое дело, которое будет обсуждаться в Приложении Впрочем, непосредственный аналог (4.8) можно было бы наметить сразу: включить все элементы матриц из (4.49) (обидам числом (пар штук) в вектор в. Тогда можно определить -матрицу

и -мерный вектор-столбец

и переписать (4.49) в виде

в очевидной аналогии с формулой линейной регрессии (4.12). Последнюю формулу можно рассматривать как совокупность разных линейных регрессий, записанных одна под другой, с одним и тем же регрессионным вектором.

Когда на параметризацию накладывается дополнительная структура, дальнейшее использование (4.55), как правило, становится невозможным, поскольку в этом случае разным компонентам выходного сигнала соответствуют разные регрессионные

векторы. Тогда нужно образовать такие -мерный вектор-столбец в и -матрицу , чтобы представить (4.49) в виде

По поводу некоторых особенностей формул (4.55) и (4.56) см. задачи

Различные варианты описания одномерных систем без труда трансформируются в ряд вариантов описания многомерных систем. Например, векторное разностное уравнение

или

являются естественным обобщением ARMAX-модели. А многомерное обобщение модели Бокса-Дженкинса имеет вид

и т.д. Параметризация этих дробно-матричных представлений рассматривается в Приложении