17.3. Идентификация рулевой динамики корабля

В качестве примера прикладной задачи кратко опишем применение развитых методов к идентификации динамики корабля. Сравните с примером 1.2. Материал этого раздела основан на результатах работ Острема и Чэлстрема Чэлстрема [200] и Чэлстрема и Острема Здесь мы рассмотрим это приложение в самых общих чертах, предлагая за всеми необходимыми разъяснениями, подробностями и числовыми характеристиками обращаться к указанным работам.

Мотивы разработки. Математическая модель рулевой динамики корабля, т. е. математическое описание влияния положения рулей на курс корабля полезна по многим причинам. Она может быть использована для имитационного моделирования, для прогнозирования того, насколько легко маневрировать кораблем и для проектирования автонавигаторов. Если вспомнить только о том, что годовые затраты на топливо для обеспечения плавания большого нефтеналивного судна составляют около

10 млн. долларов, то станет понятным, какой существенный выигрыш может обеспечить эффективное управление кораблем.

Априорное физическое знание. Движение корабля в основном подчиняется законам Ньютона. Рассмотрим его как движение по двухмерной горизонтальной плоскости, т. е. пренебрежем вертикальной, продольной и килевой качкой (теми компонентами этих движений, которые относятся к вертикальной оси). См. рис. 1.5, на котором введены курсовой угол и угол поворота рулей 6, и добавим к ним скорость курсовой качки и (вдоль оси х, направления движения корабля), скорость бортовой качки (вдоль оси перпендикулярно курсу корабля) и скорость поворота носа корабля (рыскание)

Тогда законы Ньютона для движения корабля в горизонтальной плоскости запишутся в виде

Здесь масса корабля, координата центра тяжести по оси момент инерции. Символами X и Уобозначены гидродинамические силы, гидродинамичекий момент. и обозначают возмущающие воздействия (помехи), связанные с течением, ветром и волнами. Если это хорошо известные коэффициенты, то главный вопрос в изучении динамики судна состоит в том, что гидродинамические силы являются сложной функцией от характера движения судна:

Ситуация достаточно близка к динамике самолета. Производные функций по соответствующим аргументам известны под названием гидродинамических производных, на определение которых эксперты в области морской гидродинамики тратят немало времени. Функции (17.8) привязаны к конкретному судну, поэтому в обычную практику входит проведение натурных экспериментов с физической моделью судна и попытка последующего пересчета полученных экспериментальных результатов в характеристики реального корабля.

Предполагая, что скорость курсовой качки постоянна и равна а величины и, малы, можно линеаризовать уравнения (17.7) и (17.8) в окрестности точки Это дает

аналогично для Здесь штрихи в сочетании с нижними индексами обозначают дифференцирование но соответствующим переменным. Таким образом, из (17.7) находим

Здесь возмущения от ветра и волн могут быть представлены в форме аддитивной смеси компонент постоянного сноса и турбулентных частей типа белого шума.

Замечание. Обычно в качестве единиц измерения расстояний и времени в описании (17.10) принимаются длина судна соответственно. Это должно было бы приводить к несущественному в плане рассматриваемой задачи изменению масштабов.

Эксперименты. В работе Чэллстрема [200] описан ряд экспериментов с разными нефтяными танкерами. В этих экспериментах управление велось командным сигналом на рулевую машину (привод руля). Из-за наличия у рулевой машины собственной динамики этот сигнал отличается от угла поворота Кроме и измерялись еще четыре сигнала: скорость качки у носа судна, - скорость качки у кормы судна, скорость рыскания (поворота носа судна), курсовой угол. Эти наблюдаемые величины связаны с переменными состояния из (17.10) следующим образом:

Здесь расстояния от начала координат до датчиков скорости качки на носу и на корме судна соответственно. обозначены ошибки измерений.

Постоянная времени реакции на повороты руля у больших танкеров составляет величину порядка мин. Как объект управления танкеры, как правило, "слегка” неустойчивы с временем нестабильности, превышающим 5 мин. В связи с этим выборочный интервал в большинстве экспериментов был выбран равным 10 сек, а стандартная продолжительность эксперимента по разомкнутому контуру управления составляла 30 мин. В таких экспериментах положение руля обычно изменялось между нулем градусами с помощью командного сигнала, устроенного по типу псевдослучайной бинарной последовательности. Проводились также некоторые эксперименты в замкнутом контуре, когда уставка в автоновигаторе задавалась как псевдослучайная бинарная последовательность. По этим экспериментам допускалось увеличение продолжительности. В экспериментах угловая скорость рыскания изменялась в пределах град/сек, что можно было бы сопоставить со степенью разрешения гироскопического измерителя скорости, которая составляет ±0,001 град/сек.

Доступные программы для идентификации. В процессе анализа исследователи располагали компьютерной программой для минимизации ошибок предсказания, возникающих в произвольным образом параметризованной непрерывной во времени модельной структуре (4.93) и (4.49). Выборочное измерение, расчет k-шагового предсказателя и минимизация многомерного критерия (7.84) методом численного поиска на множестве значений функции проводились только с применением Подробное описание этой программы можно найти в работе Чэлл стрема, Эссебу и Острема [202]. В распоряжении исследователей был также пакет IDPAC (см. раздел 17.1).

Возможные варианты подтверждения модели. Для сравнения и различения модельных структур использовалось несколько разных процедур:

— критерии белизны невязок (см. раздел. 16.5);

— информационный критерий Акаике (см. раздел 16.4);

— построение диаграмм наблюдаемых и имитированных на модели выходных сигналов (см. раздел 16.5);

— сопоставление оценок физических параметров с априорными представлениями о величине параметров;

- сравнение между собой оценок физических параметров на основе разных множеств данных для одного и того же судна.

Особо отметим последнюю процедуру. В рамках этого исследования она оказалась особо ценной, поскольку для каждого судна имелось несколько наборов данных, соответствующих переменным погодным условиям.

Структура моделей. Дадим сначала комментарии относительно модельных предположений о динамике приводов и ошибках измерения. Для простоты динамика рулевой машины аппроксимировалась звеном запаздывания с неизвестной постоянной

Предполагалось, что ошибки измерения в формулах (17.11) состоят из суммы сдвига (смещения) и аддитивного белого шума :

Из описания (17.10) ясно, что даже при известных все гидродинамические производные не могут быть определены но входо-выходным данным (см. задачу Это означает, что могут быть определены только некоторые из комбинаций производных и др. Эта задача была решена посредством априорной фиксации производных по ускорениям которая осуществлялась морскими экспертами. Все это, вместе с (17.12) и (17.13), привело к модельной структуре 1:

Здесь фиксированные числа, а величины образуют вектор параметров . В частности, выбор параметризации времени запаздывания в форме

определялся желанием обеспечить положительность и малость по сравнению с выборочным интервалом . Аналогично, параметризация обеспечивает положительную пол у определенность матрицы .

-шаговый предсказатель для уравнений (17.14) определяется калмановским предсказателем. Приравнивая вектор усилений фильтра Калмана из к нулю, мы получим множество моделей выходной ошибки. Это можно было бы выразить иначе как частный случай

или

Это множество моделей мы называем

В качестве третьей модельной структуры использовались стандартные ARMAX-модели второго и третьего порядков:

Эта модельная структура будет названа

Результаты. Подробно результаты идентификации обсуждаются и интерпретируются в упомянутых выше источниках. Перечислим некоторые важные выводы:

— Оказалось довольно несложно построить хорошую входо-выходную модель. Иначе говоря, измеренные реализации выходного сигнала оказывались в неплохом согласии с имитированным выходным сигналом для всех рассмотренных модельных структур.

— Оценки гидродинамических производных могли существенно меняться от эксперимента к эксперименту для одного и того же судна. Поскольку при этом входо-выходные характеристики оставались приемлемыми, то, как отсюда следует, чувствительность передаточных функций к значениям физических параметров невелика. Однако вариации оценок оказались больше оценок стандартных отклонений. Это указывает на то, что изменение погодных условий действительно сказывается на модели, свидетельствуя о том, что модельные структуры могли быть выбраны слишком простыми.

— Наилучшая устойчивость оценок физических параметров была достигнута для модельной структуры при горизонте предсказания около 40 сек (т.е. при прогнозировании на 4 шага вперед, Метод выходной ошибки как и метод максимального правдоподобия дали гораздо худшее согласие с оценками, полученными в разных экспериментах. Как уже говорилось в гл. 14, объяснение, возможно, заключается в том, что при хорошее согласие с данными наблюдений достигается в той части частотного диапазона, где очень резкие и очень медленные возмущающие воздействия со стороны волн и ветра влияют минимально.

— Полученные для модельных структур оценки передаточной функции от и к находились в хорошем взаимном согласии.

Оценивание.

— Оценивание параметров по входо-выходным данным при определении гидродинамических производных не стало пока стандартным инструментом морской гидродинамики. Вариации оценок от одного эксперимента к другому были для этого слишком велики.

— Однако в результате цитируемого исследования получили коммерческое хождение разработанные для решения соответствующих задач имитационного моделирования входо-выходные модели ARMAX-типа, идентифицированные при физических экспериментах над танкерами для перевозки нефти.

— На основе собранного в процессе исследований содержательного материала было также разработано устройство автонавигации, основной частью является рекуррентный идентификатор. Подробное описание можно найти в работах Чэллстрема [300] и Чэллстрема с соавторами [203].