17.2. Применение к лабораторной системе

Чтобы продемонстрировать применение методов идентификации к реальным данным, рассмотрим лабораторную систему тренажер обратной связи показанный на рис. 17.9. Она работает примерно как фен для сушки волос: воздух нагнетается в трубку и у впускного отверстия подвергается нагреву. Температура воздуха измеряется с помощью термопары, установленной у выпускного отверстия. Входным сигналом является напряжение, подаваемое на нагревательный прибор, который представляет собой обычную резисторную спиральную сетку. Выходной сигнал - температура воздуха у выходного отверстия. Следует сказать, что рассматриваемый процесс является хороню обусловленным: он имеет простую динамику при достаточно низком уровне помех. Он допускает также проведение измерений при хорошем отношении сигнал/шум.

Переходная и частотная характеристики. Реакция этого объекта на единичный скачок приводится на рис. 17.10. Она показывает, что динамика объекта проста,

Рис. 17.9. Объект

Рис. 17.10. Реакция объекта на единичный скачок

осцилляторные полюса отсутствуют, ведущая постоянная времени составляет примерно 0,4 с, а чистое временное запаздывание примерно равно 0,16 с.

Приложение разночастотных синусоидальных сигналов в качестве входных и расчет амплитудной и фазовой характеристики с помощью корреляционного метода (6.18) дает диаграмму Боде, показанную кружками на рис. 17.14.

Планирование эксперимеитов. Чтобы организовать сбор данных для последующего анализа, нужно принять несколько решений. Следуя схеме из раздела 14.5, частота выборочных измерений была принята равной одному измерению каждые

0,08 с, поскольку из рис. 17.10 ясно видно, что основная постоянная времени не намного меньше 0,4 с. Кроме того, более короткий выборочный интервал породил бы несколько временных сдвигов между (выборочными) входной и выходной последовательностями. В качестве входного был выбран бинарный случайный сигнал со значениями 3,5 и 6,5 В. Вероятность изменения значения сигнала при очередном выборочном замере равна Таким образом, случаю белого шума соответствует выбор Были записаны две реализации по 1000 измерений в каждой для случаев соответственно. Отображаемые на экране фрагменты данных показаны на рис. 17.11 и 17.12. С этого момента для подгонки модели мы

Рис. 17.11. Фрагмент входо-выходных данных из первого эксперимента . Эти данные используются для идентификации

Рис. 17.12. фрагмент входо-выходных данных из второш эксперимента . Эти данные используются только для подтверждения модели

Рис. 17.13. Амплитуда эмпирической оценки передаточной функции

Рис. 17.14. Спектральная оценка передаточной функции. Ширина окна лагов Кружочками помечены оценки, полученные из частотного эксперимента (сплошная линия -амплитуда, штриховая линия - фаза)

будем пользоваться только множеством данных рис. , резервируя другое множество данных для проверок по подтверждению модели. В качестве первого шага было произведено вычитание выборочных средних входной и выходной последовательностей (см. обсуждение в разделе 14.6).

Спектральный анализ. Эмпирическая оценка передаточной функции (6.24) для реализации данных изображена на рис. 17.13. При спектральном анализе оценок передаточной функции (6.51) и (6.55) были проверены разные окна для временных лагов и оказалось, что результаты весьма чувствительны к выбору 67. Па рис. 17.14 показана оценка для (окно Парзена). На этом рисунке показан также результат частотного анализа, который находится в хорошем согласии со спектральной оценкой. Частотная характеристика демонстрирует двухдекадный спад в пределах изменения частоты в одну декаду, это свидетельствует о том, что система по меньшей мере второго порядка. Величина сдвига по фазе убывает гораздо быстрее, подтверждая ту характеристику постоянной запаздывания, которая вытекает из реакции на единичный скачок из рис. 17.10.

Предварительное исследование структуры модели. В результате непараметрической идентификации возникло ощущение, что в описании следует ожидать наличия временного запаздывания, а порядок модели должен быть, как минимум, 2.

Ограничимся случаем модели ARMAX-структуры по типу черного ящика:

Таким образом, выбор модельной структуры сводится к обнулению некоторых элементов Для параметров и будет рассматриваться только задача поиска их значений, а для параметров поиска и целенаправленного выбора (чтобы учесть временное запаздывание).

В качестве предварительной была выбрана ARX-модель шестого порядка (па Результат представлен в табл. 17.3 и соответствует модели Обнаруживается, что особенно важны коэффициенты хотя по поводу параметров такой ясности нет. Очевидно наличие запаздывания в 2 единицы но уже третья единица может быть под вопросом.

Таблица 17.2 (см. скан) Значения функции потерь и ИКА для разных модельных структур

(кликните для просмотра скана)

Таблица 17.3 (окончание) (см. скан)

Затем некоторые параметры в уравнении (17.6) были обнулены и в соответствии со схемой из раздела 16.4 был произведен расчет значений функции потерь и соответствующих значений Эти результаты в табл. 17.2.

Из табл. 17.2а видно, что время запаздывания равно 2 или может быть нулем, но точно не нуль). Табл. показывают подходящую модель порядка 2—3. Все это согласуется с нашими выводами, основанными на рис. 17.10 и 17.14.

Оценивание модели. Тем не менее, сначала мы пробуем структуру, соответствующую модели первого порядка (хотя бы для того, чтобы продемонстрировать процедуры подтверждения модели). Это приводит к модели из табл. 17.3. Взаимная корреляционная функция невязок и входного сигнала показана на рис. 17.15. Корреляция очевидна и модель принимать не

Рис. 1 7.15. Проверка невязок для модели Взаимная корреляция между Горизонтальные линии отмечают -доверительные уровни

Рис. 17.16. Диаграмма Боде для модели (тонкие линии) и спектральная оценка (толстая линия) Сплошные линии: амплитуда. Штриховые линии: фаза

Рис. 17.17. Имитированный выходной нал для модели (тонкая линня) в сравнении с измеренным выходным сишалом (толстая линия)

Рис. 17.18. Проверка невязок для модели Горизонтальные линии отмечают -доверительные уровни

следует. Диаграмма Боде для модели показана на рис. 17.16 вместе со спектральной оценкой. В то время, как фазовые диаграммы находятся в хорошем согласии, коэффициент усиления в области высоких частот для модели оказывается выше, чем в случае непараметрической модели. Модель была также проимитирована со входным сигналом, взятым из другого множества данных чем то, что использовалось на этапе подгонки модели. Имитированный и замеренный выходные сигналы сравниваются на рис. 17.17. Эти графики подтверждают, что коэффициент усиления в области высоких частот у модели выше, чем у реальной системы.

Отбросив модель первого порядка, переходим к модели второго порядка Это дает модель табл. 17.3. Проверка соответствующих невязок выполняется на рис. 17.18. Очевидно, что при лаге 1 невязки имеют четко отрицательную корреляцию. Более существенна небольшая, но заметная корреляция между невязкой и входным сигналом при лаге 2, см. рис. 17.18. Введение двух с-параметров дает модель в которой отрицательная корреляция снижена, но, как показывает рис. 17.19, корреляция между остается. Это указывает на то, что время запаздывания переоценено

Рис. 17.19. Проверка невязок для модели

(сравните с задачей . В результате мы вводим в число оцениваемых параметров величину и получаем модель Соответствующая ей корреляция между показана на рис. 17.20, который наглядно демонстрирует, что величины оказываются в достаточной степени корреляционно развязанными. Был проведен также расчет нескольких моделей третьего порядка, результаты представлены в табл. 17.3. Количество информации в этой таблице так велико, что сбивает с толку и не позволяет просто прийти к какому-то определенному выводу о том, какая структура лучше. Судя по величине ИКА модель несколько лучше, хотя вывод этот не вполне надежен.

В этом месте полезно для. каждой из модели построить частотную характеристику. До некоторой степени удивительным оказывается тот факт, что все модели из табл. 17.3, кроме приводят к неразличимым между собой диаграммам Боде. Эта общая диаграмма Боде вместе со спектральной оценкой показана на рис. 17.21. Совпадение оказывается поразительным. Это также означает практическую идентичность сигналов, воспроизводимых на выходе различных моделей, которые используются в имитационном эксперименте с данными рис. 17.12. Этот модельный выходной сигнал сравнивается с наблюдаемым выходным сигналом на рис. 17.22. Модель оказывается вполне пригодной для описания системы, если не считать того обстоятельства, что проверка велась на множестве входных данных статистически неоднородных с данными, которые были использованы при настройке модели. Поскольку все модели из табл. 17.3 работают примерно одинаково, мы могли бы выбрать любую из них, а тогда уж лучше самую простую

Выводы. Простая линейная модель дает удивительно хорошее описание физической системы. Все методы идентификации привели к результатам, которые находятся в хорошем взаимном согласии. Один из уроков, преподанных этим примером, заключается в том, что оказалось более полезным прибегнуть к таким содержательным способам описания, как диаграммы Боде и имитационные модели, вместо того, чтобы подсчитывать единички в десятичных дробях оценок параметра,

Рис. 17.20. Взаимная корреляция между для модели

Рис. 17.21. Диаграмма Боде для всех моделей (тонкие линии) из таблицы 17.3, кроме модели и спектральная оценка (толстые линии). Сплошные линии: амплитуда, штриховые линии: фаза

Рис. 17.22. Имитированный выходной сиг нал для всех моделей из таблицы 17.3 (тонкая линия) кроме модели в сравнении с измеренным выходным сигналом (толстая линия). Данные с рис. 17.12

точность оценок и значения функции потерь. Изученный "скромный” лабораторный объект, конечно, прост. При работе с системами промышленного масштаба, как правило, встретится больше трудностей.