14.3. Оптимальное планирование входных сигналов

Требование информативности экспериментов оставляет значительную свободу и представляет интерес вопрос о том, какой из информативных экспериментов является наилучшим. В этом разделе обсуждается задача оптимизации

Здесь, таким образом, основное внимание фокусируется на дисперсии оценок при сохранении их состоятельности. Это — задача оптимального планирования входных сигналов, или эксперимента, являющаяся предметом широкого рассмотрения в литературе. Обзоры, посвященные этой проблеме, представлены в работах Гудвина и Пзйна Гудвина [140], Мера [284] и Зарропа [453].

Матрица ковариаций и информационная матрица. Рассмотрим, как и ранее, общую структуру модели с одним входом и одним выходом:

Асимптотическая матрица ковариаций, получающаяся в результате применения к (14.30) метода ошибки предсказания, была вычислена в (9.29) и (9.30):

Используя (7.77), можно определить среднюю информационную матрицу за один такт М как

где

а — функция плотности распределения истинных обновлений. Важным следствием этих выражений является то, что выбор нормы и распределения обновлений действует только на независящий от входного сигнала скалярный множитель. Оптимизация мер, основанных на (14.33), охватывает, таким образом, как нижнюю границу Крамера-Рао для так и все асимптотические выражения полученные для методов ошибки предсказания, с точностью до независящего скалярного множителя, который не является существенным при планировании эксперимента.

Критерий планирования. Идея заключается в таком выборе котором минимизируется матрица ковариаций или, иначе, максимизируется информационная матрица (30). Обычно эта оптимизация не может быть выполнена в матричном смысле и приходится обращаться к скалярной мере. Типичными примерами являются

или

или

где обозначает собственные значения матрицы А. Соответственно, говорят о планировании, которое является А-оптимальным, -оптимальным -оптимальным [140]. В гл. 12 обсуждался физический смысл -оптимальности. С вычислительной точки зрения работать с (14.36) и (14.37), возможно, проще, поскольку не требуется обращать матрицу (30).

Выражение для информационной матрицы в частотной области: случай разомкнутой системы. Соотношение (9.54) дает выражение матрицы ковариаций. Используя его можно переписать в виде

при условии, что независимы. Здесь — -векторы градиентов Введем

Тогда имеем

Это выражение дает ясное представление о том, как спектр входного сигнала влияет на ил формационную матрицу в случае разомкнутой системы. Оно тесно связано с интуитивной рекомендацией (14.7). Чтобы достичь большого значения информационной матрицы, следует сосредоточить энергию входного сигнала на тех частотах, на которых велико, т. е. где диаграмма Боде чувствительна к изменениям параметра велико). При этом, если значение параметра представляет особый интерес, то можно, изменяя его, проверить, где диаграмма Боде модели изменяется, и там сосредоточить энергию входного сигнала.

Заметим также, что зависит только от спектра входного сигнала: таким образом, значительно различающиеся между собой входные сигналы, имеющие одинаковые спектры, будут давать одинаковую информационную матрицу. Этот результат очень полезен, поскольку из него следует, что сначала можно определить наилучший входной спектр, а затем выбрать реализацию этого спектра, принимая во внимание практические аспекты генерации сигналов и ограничения на входе.

Ограничения при планировании и формулировка задачи. При отсутствии ограничений на мощность входного сигнала информационная матрица может быть сделана сколь угодно большой. Поэтому для реального планирования нужно принимать во внимание ограничения, которые могут быть обусловлены физическими возможностями, экономичностью и безопасностью. Они могут иметь следующий вид:

Далее рассматриваются в основном два последних случая, поскольку они непосредственно связаны со спектром входного сигнала. Теперь задача оптимального планирования входного сигнала может быть сформулирована как

с учетом (14.43) или (14.44), где одна из мер

Обычно эта проблема может быть решена только посредством численной минимизации, и но этому поводу ниже будут кратко изложены некоторые детали. Для практического использования (14.45) следует прежде всего учитывать, что информационная матрица зависит также от истинного вектора параметров Это очевидно из (14.39) (14.41). Для юго чтобы определить

оптимальный входной сигнал, нужно знать истинную систему. На практике эта проблема преодолевается заменой в (14.39) и (14.40) наилучшей априорной оценкой параметра, возможно, полученной из пилотного эксперимента. С позиций байесовского подхода, можно ввести априорную плотность распределения и рассмотреть априорное среднее М:

Параметризация входного сигнала. Задача (14.45) как таковая довольно трудна, поскольку минимизация должна выполняться относительно функции Чтобы облегчить численные расчеты, желательно использовать конечномерную параметризацию

и при задача принимает вид

Задача (14.48) представляет собой теперь стандартную задачу конечномерной минимизации.

Единственный вопрос состоит в том, как выбрать (14.47). В идеале параметризация не должна сказываться на решении задачи. Другими словами желательно, чтобы при иробегании переменной значения покрывали то же множество матриц, что и при изменениях с учетом ограничения. Эта проблема обсуждалась, например, в [141], [453] и [391]. Обычно параметризация входного сигнала реализуется в виде конечной суммы синусоид, как в (14.17), или в виде конечномерных линейных фильтров, порождающих входной сигнал из белого шума.

Форма входного сигнала. До сих нор мы в основном касались свойств второго порядка входной последовательности (т.е. ее спектра или корреляционной функции). Было найдено, что дисперсии оценок параметров зависят только от этих свойств. Теперь существуют различные пути реализации данного входного спектра. Действительная форма входного сигнала должна быть согласована с условиями практического приложения. Обычно, амплитуда входного сигнала физически ограничена определенным интервалом, как в (14.42) (например, клапан может открываться только в некотором промежутке), и это главная причина введения ограничений типа (14.43). Синусоиды, как в (14.47), имеют ограниченные амплитуды, но часто лучше выбирать двоичный входной сигнал

где допустимые уровни на входе. Переход от одного значения к другому может быть чисто случайным, реализованным, например, в виде

где генерируемый на ЭВМ белошумный процесс. Такой сигнал можно называть случайным двоичным сигналом, причем различные спектры могут быть реализованы за счет выбора соответствующих фильтров

Другая возможность состоит в реализации (14.49) с помощью сдвигового регистра. Обычно тогда входной процесс представляет собой псевдослучайный двоичный сигнал, описанный в [92]. Он порождает периодическую последовательность

с ковариационными функциями характерный вид которых изображен на рис. 14.2.

Эксперименты с замкнутой системой. Задача планирования (14.45) может, конечно, рассматриваться в данном виде и для отыскания оптимальных экспериментов, допускающих наличие обратной связи. Исходя из (14.33) и (9.54) нетрудно получить выражение для информационной матрицы, справедливое также при наличии обратной связи. Затем можно использовать параметризацию в терминах ковариации и взаимной ковариации, однако общий случай приводит к чрезвычайно сложным выражениям.

В [1541, возможно впервые, отмечалось, что оптимальные эксперименты для замкнутых систем действительно могут быть найдены, по крайней мере в случае ограниченной мощности выходного сигнала (14.44).

Рис. 14.2. а) Типичный вид псевдослучайного двоичного сигнала, Ковариационная функция: основной период наименьший временной интервал между скачками. период могут быть выбраны пользователем.)

Общее изложение затруднительно (за исключением случая асимптотики по неограниченно возрастающему порядку системы, изучаемому в следующем разделе), а в качестве иллюстрации можно рассмотреть следующий частный результат (см. [141], теорема 6.4.9)

Результат 14.1. Рассмотрим модель структуры

которая может иметь произвольные полюсы. Допустим, описание системы охватывается этим множеством, а дисперсия обновлений равна Рассмотрим -оптимальное планирование эксперимента при ограничении Оно реализуется посредством замыкания системы регулятором, минимизирующем дисперсию сигнала на выходе, с добавлением белошумного возмущения:

где белошумная последовательность имеет такую дисперсию, при которой

Доказательство этого результата см. в [141].

Отрицательные стороны оптимального планирования входного сигнала. Решение задачи (14.48) связано с многочисленными трудностями. Выше отмечалось, что для вычисления требуется оценивать параметры истинной системы. Верно также и то, что численная минимизация (14.48) может быть громоздкой. Важен, безусловно, и третий аспект: структура модели влияет на планирование как некоторая предвзятость. На это указывалось в работе Юаня и Лыонга [451]. Рассмотрим здесь эту мысль подробнее.

Из выражений для ясно, что не только истинная система, но также и структура модели в рамках которой должна проводиться идентификация, влияет

на результат планирования. Это означает, что еще до проведения эксперимента следует решить вопрос о том, какую структуру модели использовать. Это не всегда возможно, как будет видно в гл. 16. Другой и, возможно, более важный аспект состоит в том, что в малом множестве моделей можно обеспечить свойства передаточной функции в одном частотном диапазоне по ее свойствам в другом диапазоне. Чтобы получить крайний пример, рассмотрим структуру модели

с единственным параметром а. Легко видеть, что оптимальный входной сигнал для этого множества моделей при ограничении на его дисперсию всегда представляет собой константу

независимо от используемого критерия (см. задачу 14Е.5). Это означает, что даже если интерес прежде всего представляют высокочастотные характеристики, оптимальный входной сигнал имеет нулевую частоту. Причина состоит в том, что, в соответствии с (14.53), можно однозначно определить величину а и высокочастотное поведение по реакции на постоянный входной сигнал. На практике, однако, эта аргументация представляется сомнительной. Даже если истинная система может быть описана посредством (14.53) с достаточно хорошей степенью аппроксимации в интересующем диапазоне частот, подгонка на нулевой частоте может привести к очень плохой модели на высоких частотах. Если подозрение, что истинная система должна отыскиваться в небольшом множестве моделей, не является абсолютно достоверным, в результате оптимальный входной сигнал может оказаться неподходящим.