6.6. Заключение

В этой главе было показано, как простые способы анализа переходных процессов и реакции на гармоническое воздействие могут существенно прояснить свойства линейных систем. Была введена эмпирическая оценка передаточной функции

основанная на данных из интервала Здесь

Эмпирическая оценка передаточной функции является асимптотически несмещенной, но имеет конечную дисперсию величиной (см. лемму 6.1).

Было показано, как сглаживание эмпирической оценки передаточной функции приводит к оценке, получаемой в спектральном анализе:

Соответствующая оценка спектра шума равна

Свойства этих оценок кратко подытожены соотношениями (6.58)-(6.64) и (6.74), (6.75).

Эти свойства зависят от параметра 7, который описывает ширину выбранного частотного окна Узкое окно (большое 7) приводит к маленькому смещению, но большой дисперсии оценки, в то время как для широких окон имеет место обратная ситуация.

6.7. Комментарии к библиографии

Раздел 6.1. Общий обзор непараметрических методов идентификации систем был сделан Уэстедом [427]. Обзор методов, основанных на анализе переходных процессов, дан Раке [334]. Различные способы определения численных характеристик по реакции на ступенчатое входное воздействие обсуждаются в работе Шварце [355]. Обзор корреляционных методов сделал Годфри [136].

Раздел 6.2. Частотный анализ, являясь классическим методом идентификации, описан во многих учебниках по управлению. Более детальное описание содержится в работах Раке [334] и Острема [23], где также изложен ряд интересных примеров. Раздел 6.3. Общие методы гармонического анализа Фурье также обсуждаются в [334]. Термин «эмпирическая оценка передаточной функции» для введен в данной главе, однако подобная оценка хорошо известна.

Разделы 6.4 и 6.5. Спектральный анализ является стандартным предметом в учебниках по временным рядам. См., например, книги Гренандера и Розенблатта [147, гл. 4—6], Андерсона [14, гл. 9] и Хэннана [163, гл. 5]. В них рассматриваются прежде всего вопросы оценивания спектров. Среди специальных работ по методам в частотной области, включающих оценивание передаточных функций, отметим всестороннее аналитическое исследование в монографии Бриллингера [63], хорошо продуманное обсуждение как статистических свойств, так и прикладных аспектов в книге Дженкинса и Уоттса [193], а также ориентированный на приложения подход в книге Бендата и Пирсола [41]. Другое обширное изложение содержится в монографии Пристли [329]. Обзоры различных методов в частотной области даны в книге Бриллингера и Кришнайя [65], а ориентированный на управление обзор сделан Годфри [136]. Приведенное здесь изложение основано на работе Льюнга [251]. Первое использование идеи сглаживания периодограмм с целью получения лучшей спектральной оценки, по-видимому, сделано в работе Дэниела [91]. Критическое обсуждение окон для спектрального анализа проведено Геклини и Явузом [130] и Паиулисом [317].

Оценивание передаточных функций методами спектрального анализа широко использовалось, например, в эконометрике Грэнгером [144], в геофизике Робинсоном [344], в промышленных приложениях Густавссоном [153] и во многих других областях. В литературе имеется огромное количество примеров.

Кроме прямых методов в частотной области для оценивания спектров, многие эффективные методы основаны на параметризации: некоторые из них обсуждаются в следующей главе. Так называемые методы максимума энтропии нашли широкое применение в приложениях по обработке сигналов. Впервые идея изложена Бургом [68], а Кэй и Марпл [211] дали сравнительный обзор различных подходов.

6.8. Задачи

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)