Часть I. СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ

Глава 2. СТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Стационарные линейные системы, несомненно, представляют собой наиболее важный класс динамических систем, рассматривающихся в теории и на практике. Нужно понимать, что такие системы соответствуют идеализированному представлению о реально протекающих процессах. Но несмотря на это, такое приближение оправдано, а проектные решения, основанные на использовании линейной теории, во многих случаях приводят к хорошим результатам.

Курсы по теории линейных систем входят во все типовые программы инженерного образования и, несомненно, читателю кое-что о них известно. Тем не менее, в этой главе мы напомним те основные положения теории, которые будут использованы в дальнейшем изложении. В разделе 2.1 рассматриваются импульсная реакция и различные подходы к описанию и интерпретации помех, вводится также понятие передаточной функции. В разделе 2.2 - исследуются частотные представления и вводится понятие периодограммы. В разделе 2.3 развивается единый подход к спектральному описанию детерминированных и случайных сигналов, который затем проводится по всей книге. В разделе 2.4 доказан основной результат об эргодичности. Всюду изложение ведется для системы со скалярным входным и скалярным выходным сигналами. Аналогичные выражения для многомерных систем представлены в разделе 2.5.

2.1. Импульсные реакции, помехи и передаточные функции

Импульсная реакция. Рассмотрим систему со скалярным входным сигналом и скалярным выходным сигналом (рис. 2.1). Говорят, что система стационарна, если форма ее реакции на произвольный входной сигнал не зависит от выбора начала отсчета времени. Говорят, что система линейна, если ее выходная реакция на линейную комбинацию входных сигналов совпадает с линейной комбинацией выходных реакций на каждый отдельный входной сигнал. Кроме того, систему называют причинно обусловленной, если значение выходного сигнала в произвольный момент времени зависит от значений входного сигнала в более ранние моменты времени до текущего момента включительно.

Хорошо известно, что линейная, стационарная, причинно обусловленная система может быть описана импульсной реакцией (или весовой функцией) а именно:

Зная для можно произвести последовательный расчет выходного сигнала для любого входного сигнала. Таким образом, импульсная реакция полностью определяет поведение системы.

Дискретизация. Как следствие типового подхода к сбору информации почти по всей книге мы будем иметь дело с наблюдениями входных и выходных сигналов, относящихся к дискретным моментам времени. Таким образом, будем предполагать, что наблюдается в выборочные моменты времени

Интервал будем называть выборочным интервалом. Можно, конечно, рассматривать случаи неравномерно расположенных моментов выборочных измерений.

Рис. 2.1. Система

В компьютеризованных системах управления входной сигнал чаще всего постоянен в интервале между выборочными моментами времени:

Будучи обусловленным в основном чисто практическими соображениями, это обстоятельство чрезвычайно упрощает анализ системы. Подстановка (2.3) в (2.2) дает

где

Соотношение (2.4) определяет значения выходного сигнала в выборочные моменты времени. Отметим, что для входных сигналов, удовлетворяющих условию (2.3), соотношение (2.4) является точным, и для расчета отклика на входной сигнал достаточно знать последовательность Соотношение (2.4) описывает систему с дискретными, или выборочными, наблюдениями, и мы будем называть последовательность импульсной реакцией этой системы.

Даже если входной сигнал не является кусочно-постоянным и не удовлетворяет условию (2.3), запись (2.4) может оставаться приемлемой аппроксимацией при условии, что изменения в выборочном интервале не слишком велики. См. также соотношения (2.21)- (2.26).

К обозначениям из формул (2.3)- (2.5) мы будем прибегать в тех случаях, когда существенны выбор начала отсчета и величина интервала Но в большинстве случаев обозначения можно упростить, считая, что величина равна 1, и используя для нумерации дискретных моментов времени индекс Тогда можно переписать (2.4) в виде

Для последовательностей будет также использоваться следующее обозначение:

и, с еще большим упрощением записи,

Помехи. Используя формулу (2.6), можно произвести точный расчет выходного сигнала, если известен входной сигнал. Последнее в большинстве случаев нереально. Всегда найдутся такие неконтролируемые сигналы, которые также влияют на поведение системы.

Рис. 2.2. Система с помехой

В рамках линейной теории используется предположение, что влияние этих сигналов сводится к аддитивной компоненте и в выходном сигнале (см. рис. 2.2):

Существует множество источников и причин возникновения таких шумовых добавок. Отметим некоторые из них.

Шум наблюдений. Датчики-измерители сигналов подвергаются воздействию помех и дрейфу.

Неконтролируемые входы. В систему поступают сигналы, которые имеют характер входных, но не контролируются пользователем. Если взять, например, самолет, то направление его полета зависит не только от положения рулевого оперения и элеронов, но также от порывов ветра и турбулентности атмосферы. Другой пример — это помещение с центральным отоплением, в котором температура зависит не только от управляемой степени нагрева радиаторов, но и от непредсказуемого, постоянно меняющегося числа людей в помещении на человека)

Характер помех может изменяться в широком диапазоне. Классическим способом описания помех в задачах управления является введение скачкообразных и импульсных воздействий, в то же время в рамках стохастической теории управления помехи задаются как реализации случайных процессов. На рис. 2.3 и 2.4 приведены примеры помех с типичными, но совершенно разными характеристиками. В некоторых случаях помехи могут быть измерены раздельно, однако более типична ситуация, когда воздействие помех обнаруживается лишь по тому совокупному эффекту, который порождает действие помех в выходном сигнале. Разумеется, если известна импульсная реакция системы, то фактическая величина помехи в момент может быть найдена из формулы (2.8).

Предположение об аддитивном характере помехи на выходе системы (см. рис. 2.2) накладывает некоторые ограничения. Иногда и измерения входного сигнала могут быть искажены шумом (модель «ошибки в переменной»). В этих случаях будем действовать чисто прагматически, полагая, что результаты замеров входного сигнала и есть действительный входной сигнал объекта, а их отклонения от истинных воздействий, пропущенные через систему, включаются в помеху показанную на рис. 2.2.

Характеристики помех. Наиболее характерной особенностью помехи является то, что значение помехи заранее неизвестно. Однако информация о прошлых значениях

Рис. 2.3. График частоты генератора напряжения переменного тока при изменении нагрузки в интервале

Рис. 2.4. Натяжение бумаги в сушильном агрегате бумагоделательной машины

помехи могла бы использоваться для обоснования оценок ее последующих значений. Для описания будущего поведения помехи естественно использовать язык вероятностных конструкций. Тогда для текущего момента хотелось бы высказать какие-то соображения о характере помех в моменты . Полной характеристикой была бы условная совместная плотность вероятности значений при заданном наборе Однако в большинстве случаев реализация этой идеи потребовала бы слишком трудоемких вычислений, вместо этого мы поступим более просто.

Пусть задается соотношением

где последовательность взаимно независимых (одинаково распределенных) случайных величин с некоторой функцией плотности вероятности. Такое описание хотя и не дает полной характеристики вероятностных свойств помехи, но является достаточным для достижения большинства практических целей. В разделе 3.1 будет показано, каким образом можно использовать соотношение (2.9) для предсказания и формирования статистических гипотез о будущем поведении помех. В целях нормировки обычно будем считать, что Это не умаляет общности, поскольку всегда можно надлежащим образом подобрать величину дисперсии сигнала

Следует понимать, что задание различных функций плотности вероятности для последовательности может порождать помехи с самыми разными характеристиками. Если, например,

где нормально распределенная случайная величина с распределением , то при малом II последовательность значений помехи будет представлять собой некоторый процесс с нулевым средним и характерным набором всплесков «детерминированной» формы, происходящих в случайные моменты времени. См. рис. 2.5. Этого могло бы хватить для описания помех «классического вида»: скачков, импульсных всплесков, синусоид и трапецевидных помех (см. рис. 2.3). С другой стороны, задание плотности вероятности в виде

дает совершенно другую картину. См. рис. 2.6. Эта картина больше подходит для

Рис. 2.5. Реализация Процесса (2.9) при удовлетворяющем (2.10)

Рис. 2.6. Реализация того же процесса (2.9), но для удовлетворяющего (2.11)

описания шумов измерений и других нерегулярных и высокочастотных шумов «входного типа».

Нередко ограничиваются заданием только характеристик второго порядка последовательности, т.е. средних значений и дисперсий. Отметим, что соотношения (2.10) и (2.11), отличаясь по виду, задают последовательность взаимно независимых случайных величин с нулевым средним и дисперсией X (в формуле

Замечание. Определенные выше последовательности являются случайными процессами последовательностями случайных величин). Отсюда следует, что наблюдаемые значения аддитивной на выходе помехи представляют собой реализации случайного процесса Строго говоря, для процесса и его реализаций следует пользоваться разными обозначениями, однако не стоит взваливать на себя эту «дополнительную ношу», поскольку обычно конкретный смысл величины ясен из контекста. Часто приходится сталкиваться с изучением сигналов, которые представляют собой смеси детерминированных и случайных компонент. Методология такого исследования будет обсуждаться в разделе 2.3.

Функция ковариации. Используя формулу (2.9) для можно вычислить среднее значение

и ковариацию

Здесь при Отметим, что так определенная ковариация не зависит от назовем

функцией ковариации процесса Эта функция вместе со средним значением определяет характеристики второго порядка процесса которые тем самым однозначно определяются заданием последовательности и дисперсии X процесса Поскольку функция (2.14) и не зависят от процесс называется стационарным.

Передаточные функции. Удобно ввести сокращенные обозначения для сумм, фигурирующих в формулах тииа (2.8) и (2.9), которые будут часто возникать в этой книге. Введем оператор сдвига вперед

и оператор сдвига назад

Можно переписать формулу (2.6) в виде

где используется обозначение

Будем называть передаточным оператором или передаточной функцией линейной системы (2.6). Заметим, что формула (2.15) описывает связь между последовательностями и и

Замечание. В качестве аргумента функции выбрана переменная а не (что, судя по виду правой части, могло бы казаться естественным), чтобы согласовать получающуюся запись с формулами z-преобразования и преобразования Фурье. Строго говоря, термин «передаточная функция» следовало бы зарезервировать для z-преобразования последовательности , т. е.

но иногда мы не будем придавать значений этой тонкости.

Аналогично, вводя

можно записать вместо формулы (2.9)

Таким образом, основной формой записи уравнений линейной системы с аддитивной помехой становится соотношение вида

где это последовательность взаимно независимых случайных величин с нулевым средним и дисперсией

Непрерывные по времени представления и дискретные передаточные функции. Для многих физических систем естественно использовать непрерывное по времени

представление, задаваемое формулой (2.1), поскольку базовые соотношения записываются в виде дифференциальных уравнений. Если через обозначить преобразование Лапласа от импульсной реакции системы из формулы (2.1), то можно записать соотношение

связывающее переменные преобразования Лапласа от выходного и входного сигналов соответственно. Вводя оператор дифференцирования можно было бы переписать исходное дифференциальное уравнение (2.1) в краткой операторной форме:

В этом случае уравнение (2.1) (или описывает поведение выходного сигнала для всех непрерывных моментов времени Если известная функция (не обязательно кусочно-постоянная), то уравнение (2.22) можно конечно использовать и для описания выборочных значений выходного сигнала, имея при этом в виду, что в процедуру расчета этих значений войдет численное интегрирование дифференциального уравнения. В самом деле, дискретную модель (2.9), которой описывается помеха на выходе системы, можно преобразовать к виду

Однако вместо этого мы, как правило, будем переходить от непрерывного описания (2.22) к стандартной дискретной модели (2.15), используя Преобразование передаточных функций

Здесь обозначает выборочный интервал. Если входной сигнал в выборочном интервале постоянен (а вообще, кусочно-постоянен), то в силу (2.4) замена является точной. См. задачу где предлагается выписать явную формулу для передаточной функции, а также формулы (4.65) - (4.68), более удобные в численных, методах расчета. Можно воспользоваться и приближенными формулами, которые получаются, если заменить дифференцирование вычислением конечных разностей. Так можно прийти к формуле эйлеровой аппроксимации

и формуле Тастина

Дальнейшее обсуждение можно найти в работе Острема и Виттенмарка [32].

Некоторые термины. Функция из формулы (2.17) представляет собой комплекснозначную функцию от комплексной переменной Значения которые являются решениями уравнения называются нулями передаточной функции (или системы), а значения при приближении к которым функция стремится к бесконечности, называют полюсами. В полном соответствии с терминологией теории аналитических функций (см., например, [1]). Если рациональная функция от то полюса представляют собой нули полинома в знаменателе передаточной функции.

Будем говорить, что передаточная функция (или система G, или фильтр G) устойчива, если

Определение (2.27) совпадает с известным в теории определением ОРОВ-устойчивости (ограниченная реакция на ограниченный входной сигнал), см., например, [66]: если выполнено условие (2.27), то для ограниченного входного сигнала системы и выходной сигнал также ограничен Отметим, что выполнение (2.27) гарантирует сходимость разложения Лорана

всюду, где Это означает, что функция вне открытого единичного круга является аналитической. И, в частности, не имеет полюсов в этой области.

Часто придется иметь дело с семействами фильтров

Будем говорить, что семейство является равномерно устойчивым, если

Иногда требуется несколько более сильное условие, чем условие (2.27). Говорят, что является строго устойчивой, если

Отметим, что для рациональной по передаточной функции из устойчивости вытекает строгая устойчивость (разумеется, верно и обратное утверждение). См. задачу

Наконец, фильтр называется моническим, если коэффициент с нулевым номером равен 1 (или единичной матрице), т.е.