Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Часть I. СИСТЕМЫ И МОДЕЛИГлава 2. СТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫСтационарные линейные системы, несомненно, представляют собой наиболее важный класс динамических систем, рассматривающихся в теории и на практике. Нужно понимать, что такие системы соответствуют идеализированному представлению о реально протекающих процессах. Но несмотря на это, такое приближение оправдано, а проектные решения, основанные на использовании линейной теории, во многих случаях приводят к хорошим результатам. Курсы по теории линейных систем входят во все типовые программы инженерного образования и, несомненно, читателю кое-что о них известно. Тем не менее, в этой главе мы напомним те основные положения теории, которые будут использованы в дальнейшем изложении. В разделе 2.1 рассматриваются импульсная реакция и различные подходы к описанию и интерпретации помех, вводится также понятие передаточной функции. В разделе 2.2 - исследуются частотные представления и вводится понятие периодограммы. В разделе 2.3 развивается единый подход к спектральному описанию детерминированных и случайных сигналов, который затем проводится по всей книге. В разделе 2.4 доказан основной результат об эргодичности. Всюду изложение ведется для системы со скалярным входным и скалярным выходным сигналами. Аналогичные выражения для многомерных систем представлены в разделе 2.5. 2.1. Импульсные реакции, помехи и передаточные функцииИмпульсная реакция. Рассмотрим систему со скалярным входным сигналом Хорошо известно, что линейная, стационарная, причинно обусловленная система может быть описана импульсной реакцией (или весовой функцией)
Зная Дискретизация. Как следствие типового подхода к сбору информации почти по всей книге мы будем иметь дело с наблюдениями входных и выходных сигналов, относящихся к дискретным моментам времени. Таким образом, будем предполагать, что
Интервал
Рис. 2.1. Система В компьютеризованных системах управления входной сигнал
Будучи обусловленным в основном чисто практическими соображениями, это обстоятельство чрезвычайно упрощает анализ системы. Подстановка (2.3) в (2.2) дает
где
Соотношение (2.4) определяет значения выходного сигнала в выборочные моменты времени. Отметим, что для входных сигналов, удовлетворяющих условию (2.3), соотношение (2.4) является точным, и для расчета отклика на входной сигнал достаточно знать последовательность Даже если входной сигнал не является кусочно-постоянным и не удовлетворяет условию (2.3), запись (2.4) может оставаться приемлемой аппроксимацией при условии, что изменения в выборочном интервале не слишком велики. См. также соотношения (2.21)- (2.26). К обозначениям из формул (2.3)- (2.5) мы будем прибегать в тех случаях, когда существенны выбор начала отсчета и величина интервала
Для последовательностей будет также использоваться следующее обозначение:
и, с еще большим упрощением записи,
Помехи. Используя формулу (2.6), можно произвести точный расчет выходного сигнала, если известен входной сигнал. Последнее в большинстве случаев нереально. Всегда найдутся такие неконтролируемые сигналы, которые также влияют на поведение системы.
Рис. 2.2. Система с помехой В рамках линейной теории используется предположение, что влияние этих сигналов сводится к аддитивной компоненте и
Существует множество источников и причин возникновения таких шумовых добавок. Отметим некоторые из них. Шум наблюдений. Датчики-измерители сигналов подвергаются воздействию помех и дрейфу. Неконтролируемые входы. В систему поступают сигналы, которые имеют характер входных, но не контролируются пользователем. Если взять, например, самолет, то направление его полета зависит не только от положения рулевого оперения и элеронов, но также от порывов ветра и турбулентности атмосферы. Другой пример — это помещение с центральным отоплением, в котором температура зависит не только от управляемой степени нагрева радиаторов, но и от непредсказуемого, постоянно меняющегося числа людей в помещении Характер помех может изменяться в широком диапазоне. Классическим способом описания помех в задачах управления является введение скачкообразных и импульсных воздействий, в то же время в рамках стохастической теории управления помехи задаются как реализации случайных процессов. На рис. 2.3 и 2.4 приведены примеры помех с типичными, но совершенно разными характеристиками. В некоторых случаях помехи могут быть измерены раздельно, однако более типична ситуация, когда воздействие помех обнаруживается лишь по тому совокупному эффекту, который порождает действие помех в выходном сигнале. Разумеется, если известна импульсная реакция системы, то фактическая величина помехи в момент Предположение об аддитивном характере помехи на выходе системы (см. рис. 2.2) накладывает некоторые ограничения. Иногда и измерения входного сигнала могут быть искажены шумом (модель «ошибки в переменной»). В этих случаях будем действовать чисто прагматически, полагая, что результаты замеров входного сигнала и есть действительный входной сигнал Характеристики помех. Наиболее характерной особенностью помехи является то, что значение помехи заранее неизвестно. Однако информация о прошлых значениях
Рис. 2.3. График частоты генератора напряжения переменного тока при изменении нагрузки в интервале
Рис. 2.4. Натяжение бумаги в сушильном агрегате бумагоделательной машины помехи могла бы использоваться для обоснования оценок ее последующих значений. Для описания будущего поведения помехи естественно использовать язык вероятностных конструкций. Тогда для текущего момента Пусть
где Следует понимать, что задание различных функций плотности вероятности для последовательности
где
дает совершенно другую картину. См. рис. 2.6. Эта картина больше подходит для
Рис. 2.5. Реализация Процесса (2.9) при
Рис. 2.6. Реализация того же процесса (2.9), но для описания шумов измерений и других нерегулярных и высокочастотных шумов «входного типа». Нередко ограничиваются заданием только характеристик второго порядка последовательности, т.е. средних значений и дисперсий. Отметим, что соотношения (2.10) и (2.11), отличаясь по виду, задают последовательность взаимно независимых случайных величин с нулевым средним и дисперсией X (в формуле Замечание. Определенные выше последовательности Функция ковариации. Используя формулу (2.9) для
и ковариацию
Здесь
функцией ковариации процесса Передаточные функции. Удобно ввести сокращенные обозначения для сумм, фигурирующих в формулах тииа (2.8) и (2.9), которые будут часто возникать в этой книге. Введем оператор сдвига вперед
и оператор сдвига назад
Можно переписать формулу (2.6) в виде
где используется обозначение
Будем называть Замечание. В качестве аргумента функции
но иногда мы не будем придавать значений этой тонкости. Аналогично, вводя
можно записать вместо формулы (2.9)
Таким образом, основной формой записи уравнений линейной системы с аддитивной помехой становится соотношение вида
где Непрерывные по времени представления и дискретные передаточные функции. Для многих физических систем естественно использовать непрерывное по времени представление, задаваемое формулой (2.1), поскольку базовые соотношения записываются в виде дифференциальных уравнений. Если через
связывающее переменные
В этом случае уравнение (2.1) (или
Однако вместо этого мы, как правило, будем переходить от непрерывного описания (2.22) к стандартной дискретной модели (2.15), используя Преобразование передаточных функций
Здесь
и формуле Тастина
Дальнейшее обсуждение можно найти в работе Острема и Виттенмарка [32]. Некоторые термины. Функция Будем говорить, что передаточная функция
Определение (2.27) совпадает с известным в теории определением ОРОВ-устойчивости (ограниченная реакция на ограниченный входной сигнал), см., например, [66]: если выполнено условие (2.27), то для ограниченного входного сигнала
всюду, где Часто придется иметь дело с семействами фильтров
Будем говорить, что семейство является равномерно устойчивым, если
Иногда требуется несколько более сильное условие, чем условие (2.27). Говорят, что
Отметим, что для рациональной по Наконец, фильтр
|
1 |
Оглавление
|