4.4. Модели с распределенными параметрами

Модели, в которых описание связи между входными и выходным сигналами явно или неявно включает уравнения в частных производных, обычно называют моделями с распределенными параметрами. Здесь понятие распределенности относится к вектору состояния, который в общем случае принадлежит функциональному пространству, а не евклидову пространству R. Для работы с такими моделями имеется два основных пути. Первый из них сводится к замене производной по пространственной переменной соответствующей конечной разностью или к усечению разложения в функциональный ряд, позволяющему приблизить уравнение в частных производных обыкновенным дифференциальным уравнением. Тогда получается усеченная конечно-мерная модель того типа, который мы рассматривали в п. 4.3 (в данном случае усеченность модели означает вырезание группы распределенных состояний с объединением их в конечном наборе). Другой подход заключается в проведении расчетов с исходным уравнением в частных производных и только на заключительном этапе численных выкладок для упрощения расчетов осуществляется конечномерная аппроксимация. Следует отметить, что этот второй подход полностью укладьюается в обобщенную модельную структуру (4.4) при условии, что рассматриваемое уравнение в частных производных линейно и стационарно. Это прекрасно иллюстрируется следующим примером.

Пример 4.3. Динамика нагрева.

Рассмотрим физическую систему, схематично изображенную на рис. 4.7, Она представляет собой хорошо изолированный металлический пруток, который с одного из концов подвергается нагреву. Подогрев в момент времени является входным сигналом и а измеряемая на другом конце температура - это выходной сигнал

Рис. 4.7. Система нагретого прутка

Этот выходной сигнал подвергается выборочной дискретизации в моменты

В идеальных условиях система описывается уравнением теплового переноса. Если через обозначена температура точки прутка, находящейся на расстоянии от изолированного конца прутка в момент времени то

где k — коэффициент теплопроводности. Нагрев дальнего конца прутка означает, что

где К - коэффициент теплопередачи, Поскольку ближний конец изолирован, то

Измерения описываются соотношением

где определяет шум измерений. Неизвестны параметры

Использование аппроксимации

переводит (4.97) в модель в пространстве состояний порядка где переменные состояния суть вырезанные представители процесса Это, как правило, определяет вполне приемлемую аппроксимацию уравнения тсплопсрсноеа.

Вместо этого мы сохраним уравнение (4.97), взяв от него преобразование Лапласа. Пусть теперь - преобразование Лапласа от по переменной при фиксированном значении Тогда соотношения (4.97) - (4.99) преобразуются к виду

Одинарным и двойным штрихами обозначено дифференцирование по неременной преобразование Лапласа от к Решение уравнений при фиксированном дает

где постоянные определяются из граничных условий

Подстановка последнего результата в формулу (4.100) дает

где преобразование Лапласа от шума Таким образом, мы пришли к параметризации модели типа (446). Используя некоторую процедуру выборочной дискретизации и модель последовательности значений шума измерений, можно привести модель к форме (4.4). Заметим, что является аналитической функцией хотя и не рациональной функцией. В этом случае могут быть проведены все прежние рассуждения с полюсами, нулями, устойчивостью и др.

Таким образом, в наше исследование методов системной идентификации можно включить модели с распределенными параметрами. Этому предмету посвящена обширная литература. См., например, работы [35] и [217]. Совсем неудивительно, что в этих работах важное значение придается вычислительным аспектам, выбору базисных функций и т. п.