8.4. Состоятельность и идентифицируемость

Допустим теперь, что выполняется предположение т. е. имеем истинную систему Обсудим, при каких условиях существует возможность восстановления этой системы с помошью идентификации но ошибке предсказания.

Ясно, что прежде всего следует предположить, что другими словами, множество непусто.

Квадратичный критерий при Основной результат по состоятельности почти очевиден.

Теорема 8.3. Допустим, последовательность данных удовлетворяет предположениям Пусть линейная равномерно устойчивая структура модели, причем Предположим также, что вполне информативна по отношению к Тогда

где определяется соотношениями (8.22), (8.23), а — соотношениями (8.9). Если, кроме того, структура модели глобально идентифицируема при

Следовательно, теоремы 8.2 и 8.3 утверждают, что для оцениваемых передаточных функций выполняется

Доказательство теоремы 8.3. Пусть в рассмотрим для произвольного в

Поскольку в то в соответствии с

Более того, разность

зависит только от входо-выходных данных до момента времени включительно и, следовательно, не зависит от (ср. с (8.2)). Первый член в (8.43) равен, таким образом, нулю. Второй член, равный

строго положителен, если в и соответствуют разным моделям, так как последовательность даиных достаточно информативна; см. (8.12). Результат (8.41) следует из юго, что глобальная идентифицируемость в обеспечивает равенство (см.

Квадратичный критерий при Часто более важно иметь хорошую оценку передаточной функции чем формирующего фильтра шума . Изучим теперь ситуацию, в которой множество передаточных функций модели

достаточно большое и содержит истинную передаточную функцию

но истинное описание шума точно не соответствует ни одной из возможных моделей. Таким образом, Тогда справедлив следующий результат.

Теорема 8.4. Допустим, что последовательность данных удовлетворяет предположениям Пусть линейная равномерно устойчивая структура модели такая, что параметризованы независимо:

и такая, что множество

не пусто. Предположим, что вполне информативна относительно а система разомкнута, т.е,

Пусть оценка

получена методом ошибки предсказания (8.16) и (8.17). Тогда

Результат (8.48) может быть условно записан в виде

Доказательство. Рассмотрим функцию V (8.22). Из имеем

с очевидным обозначением.

Так как и независимы, получаем

При первый член точно равен нулю, а второй член не зависит от Следовательно,

безотносительно к что в силу теоремы 8.2 и завершает доказательство.

Можно добавить, что как предположение (8.45), так и (8.47) существенны для справедливости результата. См. пример 8.1 и задачу

Случай независимой параметризации (8.45) охватывает модель с ошибкой на выходе (4.25) и варианты модели с фиксированной ошибкой

(которая иначе может рассматриваться как модель с ошибкой на выходе, использующей предварительный фильтр см. (7.13) и Он также охватывает структуру модели Бокса Дженкинса (4.31). Эти модели имеют, таким образом, то важное преимущество, что передаточная функция может быть состоятельно оценена, даже если множество моделей шума слишком простое, чтобы допустить совершенно точное описание системы.

Пример 8.3.

Рассмотрим систему (8.30) из примера 8.1, и пусть структура модели соответствует модели первого порядка с ошибкой на выходе:

В этом случае из теоремы 8.1 следует, что оценки будут сходиться к истинным значениям и V

Общая норма при Для общей нормы не зависящей от в соответствии с (8.29) оценка сходится в множество

Вообще говоря, множество будет зависеть от Однако при желательно, чтобы для всех разумно выбранных Ясно, что на надо наложить некоторые условия, и задача показывает, что не достаточно требовать возрастания по Приходится требовать выпуклость чтобы иметь возможность доказать результат, справедливый для всех распределений обновления Таким образом, имеем следующее расширение теоремы 8.3.

Теорема 8.5. Пусть дважды дифференцируемая функция такая, что

Здесь обновления в предположении Тогда в предположениях теоремы 8.3

где определено в (8.28) и (8.23).

Доказательство. Пусть обозначим, как обычно,

Тогда для всякого в

так как последовательность данных достаточно информативна. Следовательно, из разложения Тейлора получаем

где величина, заключенная между Поскольку независимы, это выражение с учетом (8.52), (8.53) и дает

Доказательство завершено.

Очевидно, можно дать аналогичное расширение теоремы 8.4.

В методе максимального правдоподобия норма выбирается как логарифм плотности распределения обновлений со знаком минус (7.73):

Можно показать, что для этой нормы соотношение (8.52) выполняется автоматически теорема 8.5 имеет место без условия См. задачу

Общая норма при Рассмотрим теперь случай, когда норма параметризована посредством а независимо от параметризации предсказателя, как в (7.17). Имеем, таким образом, следующие предельные значения в и а:

Если и для всех а выполняются условия теоремы 8.5, то ясно, что безотносительно к означает, что

Исследуем выражение предельного значения а (8.56). Прежде всего имеем следующий результат.

Лемма 8.3. Рассмотрим норму (7.17), нормализованную так, что

Пусть функция плотности распределения вероятностей есть и предположим, что для некоторого

Тогда в

Доказательство. Положим

Отсюда

Здесь использовано неравенство Иенсена (см. [78]) (поскольку является выпуклой функцией), а равенство имеет место тогда и только тогда, когда Это и доказывает лемму.

Таким образом, эвристически можно сказать, что

минимизация по а в (8.55) - попытка сделать норму похожей на логарифм с обратным знаком от функции нлотности распределения вероятностей истинных обновлений. (8.59)

Пример 8.4

Пусть задается выражением (7.75):

Находим, что минимум функции

достигается при Оценка будет, таким образом, сходиться к дисперсии обновлений при См. задачу

Если предсказатель и норма имеют общие параметры, то утверждение, что

будет давагь компромиссное решение между стремлением сделать ошибки предсказания равными истинным обновлениям и (8.59), т. е. стремлением сделать норму похожей на . В случае, когда эти две цели не могут быть достигнуты одновременно, состоятельность может быть утрачена при непустом . См. задачу

Многомерный случай Результаты по сходимости и состоятельности для многомерных систем полностью аналогичны скалярному случаю. Результат (8.29) справедлив при тех же обозначениях и в многомерном случае. Контрпримеры к теоремам 8.3 и 8.4 с квадратичным критерием

имеют место при той же формулировке, только с очевидными изменениями обозначений в доказательствах. Условие (8.53) теоремы 8.5 принимает вид положительной определенности -матрицы