Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
8.4. Состоятельность и идентифицируемостьДопустим теперь, что выполняется предположение Ясно, что прежде всего следует предположить, что Квадратичный критерий при Теорема 8.3. Допустим, последовательность данных
где
Следовательно, теоремы 8.2 и 8.3 утверждают, что для оцениваемых передаточных функций выполняется
Доказательство теоремы 8.3. Пусть в
Поскольку в
Более того, разность
зависит только от входо-выходных данных до момента времени
строго положителен, если в и Квадратичный критерий при
достаточно большое и содержит истинную передаточную функцию
но истинное описание шума Теорема 8.4. Допустим, что последовательность данных
и такая, что множество
не пусто. Предположим, что
Пусть оценка
получена методом ошибки предсказания (8.16) и (8.17). Тогда
Результат (8.48) может быть условно записан в виде
Доказательство. Рассмотрим функцию V (8.22). Из
с очевидным обозначением. Так как
При
безотносительно к Можно добавить, что как предположение (8.45), так и (8.47) существенны для справедливости результата. См. пример 8.1 и задачу Случай независимой параметризации (8.45) охватывает модель с ошибкой на выходе (4.25) и варианты модели с фиксированной ошибкой
(которая иначе может рассматриваться как модель с ошибкой на выходе, использующей предварительный фильтр Пример 8.3. Рассмотрим систему (8.30) из примера 8.1, и пусть структура модели соответствует модели первого порядка с ошибкой на выходе:
В этом случае из теоремы 8.1 следует, что оценки Общая норма
Вообще говоря, множество Теорема 8.5. Пусть
Здесь
где Доказательство. Пусть
Тогда для всякого в
так как последовательность данных достаточно информативна. Следовательно, из разложения Тейлора получаем
где
Доказательство завершено. Очевидно, можно дать аналогичное расширение теоремы 8.4. В методе максимального правдоподобия норма
Можно показать, что для этой нормы соотношение (8.52) выполняется автоматически теорема 8.5 имеет место без условия Общая норма
Если
Исследуем выражение предельного значения а (8.56). Прежде всего имеем следующий результат. Лемма 8.3. Рассмотрим норму (7.17), нормализованную так, что
Пусть функция плотности распределения вероятностей
Тогда в Доказательство. Положим
Отсюда
Здесь использовано неравенство Иенсена (см. [78]) (поскольку Таким образом, эвристически можно сказать, что минимизация по а в (8.55) - попытка сделать норму Пример 8.4 Пусть
Находим, что минимум функции
достигается при Если предсказатель и норма
будет давагь компромиссное решение между стремлением сделать ошибки предсказания Многомерный случай Результаты по сходимости и состоятельности для многомерных систем полностью аналогичны скалярному случаю. Результат (8.29) справедлив при тех же обозначениях и в многомерном случае. Контрпримеры к теоремам 8.3 и 8.4 с квадратичным критерием
имеют место при той же формулировке, только с очевидными изменениями обозначений в доказательствах. Условие (8.53) теоремы 8.5 принимает вид положительной определенности
|
1 |
Оглавление
|