Главная > Идентификация систем. Теория для пользователя
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

8.4. Состоятельность и идентифицируемость

Допустим теперь, что выполняется предположение т. е. имеем истинную систему Обсудим, при каких условиях существует возможность восстановления этой системы с помошью идентификации но ошибке предсказания.

Ясно, что прежде всего следует предположить, что другими словами, множество непусто.

Квадратичный критерий при Основной результат по состоятельности почти очевиден.

Теорема 8.3. Допустим, последовательность данных удовлетворяет предположениям Пусть линейная равномерно устойчивая структура модели, причем Предположим также, что вполне информативна по отношению к Тогда

где определяется соотношениями (8.22), (8.23), а — соотношениями (8.9). Если, кроме того, структура модели глобально идентифицируема при

Следовательно, теоремы 8.2 и 8.3 утверждают, что для оцениваемых передаточных функций выполняется

Доказательство теоремы 8.3. Пусть в рассмотрим для произвольного в

Поскольку в то в соответствии с

Более того, разность

зависит только от входо-выходных данных до момента времени включительно и, следовательно, не зависит от (ср. с (8.2)). Первый член в (8.43) равен, таким образом, нулю. Второй член, равный

строго положителен, если в и соответствуют разным моделям, так как последовательность даиных достаточно информативна; см. (8.12). Результат (8.41) следует из юго, что глобальная идентифицируемость в обеспечивает равенство (см.

Квадратичный критерий при Часто более важно иметь хорошую оценку передаточной функции чем формирующего фильтра шума . Изучим теперь ситуацию, в которой множество передаточных функций модели

достаточно большое и содержит истинную передаточную функцию

но истинное описание шума точно не соответствует ни одной из возможных моделей. Таким образом, Тогда справедлив следующий результат.

Теорема 8.4. Допустим, что последовательность данных удовлетворяет предположениям Пусть линейная равномерно устойчивая структура модели такая, что параметризованы независимо:

и такая, что множество

не пусто. Предположим, что вполне информативна относительно а система разомкнута, т.е,

Пусть оценка

получена методом ошибки предсказания (8.16) и (8.17). Тогда

Результат (8.48) может быть условно записан в виде

Доказательство. Рассмотрим функцию V (8.22). Из имеем

с очевидным обозначением.

Так как и независимы, получаем

При первый член точно равен нулю, а второй член не зависит от Следовательно,

безотносительно к что в силу теоремы 8.2 и завершает доказательство.

Можно добавить, что как предположение (8.45), так и (8.47) существенны для справедливости результата. См. пример 8.1 и задачу

Случай независимой параметризации (8.45) охватывает модель с ошибкой на выходе (4.25) и варианты модели с фиксированной ошибкой

(которая иначе может рассматриваться как модель с ошибкой на выходе, использующей предварительный фильтр см. (7.13) и Он также охватывает структуру модели Бокса Дженкинса (4.31). Эти модели имеют, таким образом, то важное преимущество, что передаточная функция может быть состоятельно оценена, даже если множество моделей шума слишком простое, чтобы допустить совершенно точное описание системы.

Пример 8.3.

Рассмотрим систему (8.30) из примера 8.1, и пусть структура модели соответствует модели первого порядка с ошибкой на выходе:

В этом случае из теоремы 8.1 следует, что оценки будут сходиться к истинным значениям и V

Общая норма при Для общей нормы не зависящей от в соответствии с (8.29) оценка сходится в множество

Вообще говоря, множество будет зависеть от Однако при желательно, чтобы для всех разумно выбранных Ясно, что на надо наложить некоторые условия, и задача показывает, что не достаточно требовать возрастания по Приходится требовать выпуклость чтобы иметь возможность доказать результат, справедливый для всех распределений обновления Таким образом, имеем следующее расширение теоремы 8.3.

Теорема 8.5. Пусть дважды дифференцируемая функция такая, что

Здесь обновления в предположении Тогда в предположениях теоремы 8.3

где определено в (8.28) и (8.23).

Доказательство. Пусть обозначим, как обычно,

Тогда для всякого в

так как последовательность данных достаточно информативна. Следовательно, из разложения Тейлора получаем

где величина, заключенная между Поскольку независимы, это выражение с учетом (8.52), (8.53) и дает

Доказательство завершено.

Очевидно, можно дать аналогичное расширение теоремы 8.4.

В методе максимального правдоподобия норма выбирается как логарифм плотности распределения обновлений со знаком минус (7.73):

Можно показать, что для этой нормы соотношение (8.52) выполняется автоматически теорема 8.5 имеет место без условия См. задачу

Общая норма при Рассмотрим теперь случай, когда норма параметризована посредством а независимо от параметризации предсказателя, как в (7.17). Имеем, таким образом, следующие предельные значения в и а:

Если и для всех а выполняются условия теоремы 8.5, то ясно, что безотносительно к означает, что

Исследуем выражение предельного значения а (8.56). Прежде всего имеем следующий результат.

Лемма 8.3. Рассмотрим норму (7.17), нормализованную так, что

Пусть функция плотности распределения вероятностей есть и предположим, что для некоторого

Тогда в

Доказательство. Положим

Отсюда

Здесь использовано неравенство Иенсена (см. [78]) (поскольку является выпуклой функцией), а равенство имеет место тогда и только тогда, когда Это и доказывает лемму.

Таким образом, эвристически можно сказать, что

минимизация по а в (8.55) - попытка сделать норму похожей на логарифм с обратным знаком от функции нлотности распределения вероятностей истинных обновлений. (8.59)

Пример 8.4

Пусть задается выражением (7.75):

Находим, что минимум функции

достигается при Оценка будет, таким образом, сходиться к дисперсии обновлений при См. задачу

Если предсказатель и норма имеют общие параметры, то утверждение, что

будет давагь компромиссное решение между стремлением сделать ошибки предсказания равными истинным обновлениям и (8.59), т. е. стремлением сделать норму похожей на . В случае, когда эти две цели не могут быть достигнуты одновременно, состоятельность может быть утрачена при непустом . См. задачу

Многомерный случай Результаты по сходимости и состоятельности для многомерных систем полностью аналогичны скалярному случаю. Результат (8.29) справедлив при тех же обозначениях и в многомерном случае. Контрпримеры к теоремам 8.3 и 8.4 с квадратичным критерием

имеют место при той же формулировке, только с очевидными изменениями обозначений в доказательствах. Условие (8.53) теоремы 8.5 принимает вид положительной определенности -матрицы

1
Оглавление
email@scask.ru