Глава 4. МОДЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Модель системы представляет собой описание (некоторых из) ее свойств, предназначенное для достижения некоторой цели. Чтобы служить выполнению этой цели, модель вовсе не должна быть достоверной и точной, равно как и нет необходимости в том, чтобы пользователь в это верил.

Предмет системной идентификации как раз и посвящен процедурам построения или отбора моделей динамических систем, служащих некоторым целям. Как отмечено в гл. 1, первый шаг состоит в определении того класса моделей, в котором будет вестись поиск наиболее подходящей модели. В этой главе мы поговорим о некоторых классах моделей дня описания линейиых стационарных систем.

4.1. Линейные модели и множества линейных моделей

Как мы видели в гл. 2, линейная стационарная модель определяется импульсной реакцией спектром аддитивной помехи и, быть може функцией плотности вероятности помехи Таким образом, нолное задание модели сводится к записи

где

Итак, конкретный выбор модели задается тремя функциями В большинстве случаев практически неразумно специфицировать модель посредством перечисления всех элементов бесконечных последовательностей и заданием функции Вместо этого используют такие структурные описания, которые позволяют специфицировать конечными наборами чисел. Типичными примерами могут служить рациональные передаточные функции и конечномерные описания в пространстве состояний. Кроме того, вместо функции часто задаются некоторые ее численные характеристики, обычно первый и второй моменты:

Обычным также является предположение о гауссовости когда распределение польностью определяется характеристиками (4.3). Задание системы с помощью конечного набора численных характеристик или коэффициентов наиболее важно в плане идентификации модели системы. Достаточно часто определить эти коэффициенты априори из знания физической природы системы не удается. Вместо этого для определения всех коэффициентов (или некоторой их части) приходится прибегать к процедурам оценивания. Это означает, что рассматриваемые коэффициенты входят в модель (4.1) как определяемые параметры. Обычно мы будем обозначать эти параметры в и работать с описанием модели вида

Вектор параметров в принадлежит к некоторой области в пространстве где d - размерность :

Заметим, что соотношения (4.4) — (4.5) определяют уже не одну модель, а множество моделей, и целью процедуры оценивания является выбор такого элемента этого множества, который кажется наиболее удовлетворяющим поставленной цели. (Иногда можно услышать выражение модель (4.4), однако в формальном нлане такое словоупотребление представляет собой бессмысленное смешение ионятий.) Используя формулу (3.20), можно вычислить одношаговый прогноз для описаний (4.4). Обозначим его через , подчеркнув тем самым зависимость от в. Таким образом,

Этот предсказатель не зависит от плотности В самом деле, как подчеркивалось в п. 3.3, к формуле (4.6) можно было бы прийти и без вероятностных соображений. Тогда формула не применяется. Модели, которые задаются только операторами в уравнениях (4.4а) или (4.6), мы будем называть прогнозирующими моделями. Аналогично, вероятностные модели будут тяготеть к описаниям (4.4), в которых полностью охарактеризованы и вероятностные свойства системы. Параметризованное множество моделей тииа (4.6) будет называться структурой модели и обозначаться символом Конкретная модель, соответствующая значению параметра будет обозначаться (Формально определения даны в п. 4.5.)

В следующих трех разделах будут рассматриваться различные способы введения в в описание (4.4а) (т.е. различные способы параметризации множества моделей) Формальные определения понятий множеств моделей параметризации, структур моделей и единственности параметризации будут приведены в п. 4.5, вопросы идентифицируемости будут рассматриваться в п. 4.6.