5.2. Нелинейные модели как линейные регрессии

Очевидно, что введение нелинейностей связей между входной и выходной последовательностями типа (5.8) заметно расширяет возможности описания системы. В то же время, оценка ситуации достаточно неоднозначна, чтобы по конечной выборке данных можно было бы сделать вполне определенные выводы. Действительно, даже если модель (5.8) имеет первый порядок и помехи отсутствуют, то искомые компоненты модели будут представлять собой элементы общего

бесконечномерного функционального пространства (функции ),а соответствующая линейная модель задается всего двумя вещественными числами. Имеется ряд способов параметризации функций и А (например, полиномиальное разложение) однако в большинстве случаев создание разумной модельной структуры требует некоторого постижения сути рассматриваемых нелинейностей. В этом разделе мы опишем, как можно создавать такие простые структуры, если в нашем распоряжении имеется некоторая содержательная информация об идентифицируемом объекте.

Линейно-регрессионная структура. Формулой (4.12) мы определили линейную регрессию как модельную структуру с линейным по параметрам прогнозом:

Чтобы выписать линейное разностное уравнение, компоненты вектора (регрессоры) были выбраны как задержанные во времени значения входных и выходных сигналов, см. (4.11). Впрочем, при использовании (5.11) играет роль не способ формирования а то, что эта величина в момент времени уже известна. Таким образом, можно считать, что представляет собой произвольную совокупность преобразований, осуществляемых надданными наблюдений. Пусть, как обычно, обозначают входную и выходную последовательности от момента до момента Тогда можно было бы записать

с произвольными функциями от прошлых данных. Структуру (5.12) можно было бы воспринимать как конечномерную параметризацию общего неизвестного нелинейного предсказателя. Ключевым местом является выбор функций именно здесь требуется содержательное осмысление физических особенностей объекта. Это хорошо видно на следующем примере.

Пример 5.1. Дом с солнечным подогревом.

Рассмотрим задачу идентификации динамики дома с солнечным подофевом, описанную в примере 1.1. Нужно построить модель влияния, оказываемого скоростью нагнетания воздуха и интенсивностью солнечной радиации на температуру аккумулятора тепла. Можно было бы выписать формальную линейную модель типа (4.7)

В этой записи физические особенности процесса нагрева пока не учтены, (5.13) представляет собой конкретизацию модели черного ящика для данного специального случая. Простые рассуждения показывают, что линейная модель не является достаточно реалистичной. Очевидно, что эффекты, связанные с изменениями потока солнечной энергии и скорости подачи воздуха, не являются аддитивными. Если вентилятор выключен, то солнце не влияет на температуру аккумулятора.

Посмотрим, что происходит в нагревательной системе. Введем величину которой описывается температура коллектора солнечной панели в момент времени После некоторых упрощений физику процесса можно описать следующей дискретной моделью: нагрев воздуха в коллекторе, равный определяется потоком солнечной радиации за вычетом потерь от нагрева истеплопередающих элементов (среды) и тепла, транспортируемого в аккумулятор т.е.

Точно так же, увеличение температуры аккумулятора равно объему доставленной в аккумулятор тепловой энергии за вычетом потерь в окружающую т.е.

В уравнениях (5.14) и (5.15) коэффициенты неизвестные постоянные, численные значения которых предстоит определить. А так как температура не измеряется, то прежде

всего нужно исключитъ из уравнений (5.14) и (5.15). Это дает

Связь между замерами величин и параметрами усложнилась. Вводя новую параметризацию, ее можно упростить, а именно:

Теперь (5.16) можно переписать в виде настоящей линейной регрессии

причем в этом соотношении новые параметры и искусственно сконструированные наблюдения (замеры) связаны между собой линейно (заметим, что у от в не зависит). За это приходится платить ценой той информации о взаимосвязи между разными которая содержится в системе алгебраических уравнений (5.17).

Модель Гаммерштейна. Иногда нелинейность в системе представлена статическим нелинейным преобразованием входного сигнала, а, как показано на рис. 5.1, сама динамика системы остается линейной. Если нелинейная характеристика известна, то можно было бы переопределить входной сигнал, введя а в остальном рассматривать систему как линейную.

Рис. 5.1. Система со статической нелинейностью со стороны входа

Если функция неизвестна, можно было бы приблизить ее многочленом

а вслед за этим исследовать прохождение различных степеней и через динамические звенья с разными числителями:

где многочлены относительно оператора запаздывания Вводя

можно переписать (5.20) в виде

что является частным случаем записи (5.12). Модель (5.20) известна как модель Гаммерштейна. В контексте решения задач идентификации эта модель была впервые рассмотрена, скорее всего, Нарендрой и Гэллманом в работе [303].