14.2. Информативные эксперименты

В разделе 8.2 было введено понятие последовательности данных , которая является "достаточно информативной" но отношению к множеству моделей означающее, что данные позволяют отличить друг от друга любые две различные модели в множестве. Перенесем теперь эту терминологию на идентификационные

эксперименты, называя эксперимент "достаточно информативным”, если он порождает последовательность данных, являющуюся достаточно информативной.

Очевидно, изначально основным является требование к планированию, состоящее в том, что эксперимент должен быть достаточно информативным относительно любого множества моделей, которые могут быть использованы. В теореме 8.1 дается общий результат по информативным экспериментам. В этом разделе будет разработано несколько более детальных и специфичных характеристик таких экспериментов.

Эксперименты с разомкнутой системой. Рассмотрим сначала множество линейных моделей с одним входом и одним выходом общего вида:

Допустим, что соответствуют различным моделям в положим и аналогично Тогда

Теперь

где истинное описание (8.7) системы, которое не обязательно принадлежит (14.8). Допустим, эксперимент проводится с разомкнутой системой, значит независимы. Тогда, используя (2.65) и теорему 2.2,

где . В соответствии с нашим стандартным предположением обращаемости модели шума Допустим теперь, что данные не являются информативными относительно т. е.

даже если одновременно не равны тождественно нулю. Из уравнения (14.10) следует, что оба члена в квадратных скобках выражения (14.9) тождественно равны нулю, откуда

и первый член принимает вид

Это условие на спектр для эксперимента с разомкнутой системой является исходным и будет развито далее. Если (14.11) обеспечивает тождество то из (14.10) следует, что модели совпадают, и следовательно, данные являются достаточно информативными относительно

Постоянство возбуждения. Основываясь на (14.11), введем следующее нонятие: Определение 14.1. Квазистационарный сигнал имеющий спектр называется постоянно возбуждающим порядка если для любого фильтра

из соотношения

следует, что

Это понятие можно пояснить следующим образом. Очевидно, функция может иметь по крайней мере различных нулей на окружности единичного радиуса (так как один нуль всегда находится в начале координат и принимая во внимание симметрию). Следовательно, является постоянно возбуждающим порядка и, если отличается от нуля по крайней мере в точках интервала Это непосредственно следует из определения.

Заметим также, что в соответствии с теоремой 2.2

представляет собой спектр сигнала

Следовательно, сигнал, который является постоянно возбуждающим порядка и, не может быть преобразован в нулевой посредством любого фильтра (14.12) типа скользящего среднего порядка.

Другая характеризация может быть дана в терминах ковариационной функции

Лемма 14.1. Пусть квазистационарный сигнал, -матрица определяется равенством

Тогда является постоянно возбуждающим порядка в том и только в том случае, когда невырождена.

Доказательство. Пусть Тогда невырождена в том и только в том случае, когда

Легко проверить, что

где определяется выражением (14.12). Следовательно, в соответствии с теоремой 2.2 и (2.65)

поэтому (14.15) принимает вид

что является определением постоянства возбуждения.

Полезно также рассмотреть усиленный вариант этого понятия.

Определение 14.2. Квазистационарный сигнал со спектром называется постоянно возбуждающим, если

Информационные эксперименты с разомкнутой системой. Теперь, опираясь на введенные понятия, нетрудно охарактеризовать достаточно информативные эксперименты с разомкнутой системой. Имеем следующий результат.

Теорема 14.1. Рассмотрим множество моделей с одним входом и одним выходом, определяемое соотношением (14.8); таким образом, передаточные функции являются рациональными:

Тогда эксперимент с разомкнутой системой при постоянно возбуждающем входном сигнале порядка является достаточно информативным относительно

Доказательство. Для двух различных моделей имеем

Следовательно, из (14.11) получаем

Так как этот числитель является полиномом, степень которого не превышает (мы как всегда можем осуществить сдвиг на шагов, чтобы прийти к виду (14.12)), из определения 14.1 следует, что он тождественно равен нулю, и значит Справедливость теоремы следует теперь из обсуждения, следующего за (14.11).

Следствие. Эксперимент с разомкнутой системой является информативным, если входной сигнал постоянно возбуждающий.

Если числитель и знаменатель модели имеют одинаковую степень то входной сигнал должен быть постоянно возбуждающим порядка Это означает, что спектр должен быть ненулевым в точках, что достигается, например, посредством состоящего из различных синусоид:

(см. пример 2.2). Таким образом, достаточно использовать и синусоид, чтобы идентифицировать систему порядка; этот результат хорошо согласуется с частотным анализом, описанным в разделе 6.2.

Рис. 14.1. Структурная схема типичной системы с обратной связью

Теорема охватывает, например, случай общего множества моделей (4.33) и различные его частные случаи. Должно быть нонятно также, что аналогичным образом можно рассмотреть другие структуры, включая многомерный случай. См. задачу 14Е.2.

Эксперименты с замкнутой системой. Иногда приходится проводить идентификационный эксперимент в условиях замкнутой цени обратной связи (т.е. с замкнутой системой). Причина может быть в том, что объект неустойчив, или что управление объектом диктуется соображениями экономического характера или обеспечивает безопасность, или что объект содержит естественные механизмы обратной связи.

Таким образом, рассмотрим эксперименты, выполняемые в условиях замкнутой цепи обратной связи, конфигурация которой изображена на рис. 14.1. Информация, порождаемая такими экспериментами, зачастую может быть неполной, что иллюстрируется следующим примером.

Пример 14.1. Пропорциональный закон обратной связи.

Рассмотрим структуру модели первого порядка

и предположим, что при проведении эксперимента система управляется посредством пропорционального регулятора

Подставляя закон обратной связи в модель, получаем

что представляет собой модель замкнутой системы. Отсюда заключаем, что все модели удовлетворяющие равенствам

с произвольным скаляром 7, в условиях обратной связи (14.18) дают одинаковое описание системы как модели Следовательно, не существует какого-либо способа различить эти модели. Заметим, в частности, что знание коэффициента регулятора не помогает. Следовательно, в условии эксперимент является не достаточно информативным по отношению к структуре модели (14.18а). При этом входной ситал постоянно возбуждающий, так как он формируется посредством фильтрации белого шума. Таким образом, постоянство возбуждения не является достаточным для экспериментов с замкнутой системой.

Если же структура модели (14.18а) ограничена, например, условием равенства единице,

то очевидно, что данные, порождаемые в условиях являются достаточно информативными для различения всевозможных значений параметрам.

Итак, получение подходящей информации из экспериментов с замкнутой системой может оказаться проблематичным. Условия информативности данных должны также содержать закон обратной связи. Чтобы почувствовать проблему, рассмотрим (8.12) в определении 8.1. Если (8.12) выполняется для двух различных моделей, то

для некоторых фильтров которые одновременно не являются нулевыми и которые имеют примерно ту же сложность, что и модели рассматриваемой структуры. По существу отсюда следует, что существует линейная стационарная детерминированная взаимосвязь между у и и

Следовательно, только при обратной связи типа (14.22) эксперимент порождает недостаточно информативные данные. Таким образом, нелинейные, или

нестационарные, или зашумленные, или более сложные (повышенного порядка) регуляторы должны, вообше говоря, обеспечить достаточную информативность экспериментов. Это — наиболее важное утверждение, которое может быть сделано относительно информативных экспериментов, но, в то же время, оно сформулировано не достаточно строго. Следует, таким образом, дать более строгое и точное условие на нестационарные регуляторы с внешним входом, которое должно охватывать большую часть случаев, представляющих практический интерес.

Пусть входной сигнал задается обратной связью по выходу плюс внешний сигнал:

Здесь представляют собой линейные фильтры, меняющиеся во время эксперимента среди (различных) фильтров. Изменения производятся таким образом, что каждый регулятор используется в течение ненулевого отрезка времени, пропорционального общему времени эксперимента, и так редко, что можно пренебречь любой высокочастотной составляющей в спектре сигнала, возникающего за счет этих смен.

Переменная в (14.23) представляет собой внешнее возмущение входного сигнала. Сравнивая с рис. 14.1 видим, что может рассматриваться как дополнительный внешний входной сигнал (измеряемый), как шум в регуляторе (неизме-ряемый), как изменяющееся входное воздействие (эталонный сигнал) в регуляторе или как комбинация этих воздействий.

Таким образом, имеем следующий результат.

Теорема 14.2. Рассмотрим эксперимент определяемый (14.23). Допустим, что истинная система задается уравнением

и что спектр сигнала

положительно определен для всех частот. Предположим также, что все замкнутые системы, получающиеся при использовании различных регуляторов, устойчивы. Тогда эксперимент достаточно информативен в том и только в том случае, если

Доказательство. Регулятор (14.23) совместно с системой (14.24) может быть записать в виде

где аргумент опущен. Пусть спектр сигнала

Тогда

так как спектр положительно определен, а указанный фильтр устойчив и имеет полный ранг.

Если регулятор используется в течение отрезка времени, составляющего часть всего времени эксперимента, имеем

где Здесь первое равенство следует из задачи Для неравенства использовано

и

Необходимость теперь следует из теоремы 8.1. Достаточность получается взятием верхних границ и

Заметим, что в (14.25)

поэтому в случае внешнего сигнала проходящего через фильтры, не имеющие нулей на окружности единичного радиуса, эксперименты всегда информативны, независимо от того, какова обратная связь. В частном случае разомкнутой цени обратной связи имеем установленное ранее следствие к теореме 14.1.

Другое интересное следствие к теореме состоит в том, что даже при отсутствии внешнего входного воздействия информативные эксперименты получаются за счет смены различных линейных регуляторов. Проверкой (14.25) находим, что достаточно использовать два регулятора

при условии

что является очень слабым условием. Такой способ достижения информативности экспериментов может быть полезным при наличии ограничений на качество управления.

Методы идентификации замкнутых систем. При наличии информативных данных, даже если они получены при работе замкнутой системы, теорема 8.3 гарантирует, что истинное описание системы может быть восстановлено посредством метода ошибки предсказания при условии При идентификации по ошибке предсказания данные, полученные для замкнутой системы, не являются основанием для применения каких-либо специфических мер. Заметим, однако, что другие методы, такие, как спектральный анализ, не могут быть непосредственно применены для замкнутых систем. См. задачу Акаике предложил другие методы, основанные на спектральном анализе [2]. Кроме того, для замкнутых систем теряется приятное свойство, установленное в теореме 8.4, заключающееся в состоятельности оценки передаточной

функции даже при очень простой модели шума, параметризованной независимо. Данные, полученные для замкнутой системы, требуют также специального выбора инструментальных переменных при применении соответствующих методов.

По этим причинам были разработаны некоторые специальные методы идентификации систем. Это — идентификация замкнутой системы с последующим восстановлением разомкнутой прямой цепи (непрямая идентификация), или постулирование того, что у и и являются выходными сигналами другой системы, подверженной действию возмущений и дополнительных входных сигналов (совместная входо-выходная идентификация). Обзор таких методов и их свойств был сделан Густавссоном, Льюнгом и Седерстремом [154, 155], а некоторые из них онисаны в задачах к этой главе. Основной совет, однако, состоит в том, чтобы применять методы ошибки предсказания непосредственно, без использования специальных мер, предназначенных для борьбы с негативным влиянием обратной связи. В случае неудачи никакой другой подход не приведет к успеху.

Многомерный случай Постоянство возбуждения -мерного сигнала определяется аналогично определению 14.1: пусть определяется являющимися -матрицами; тогда называется постоянно возбуждающим порядка если

выполняется только при

Лемма 14.1 имеет очевидный аналог, а основная теорема 14.2 остается справедливой без изменений, если в (14.25) заменить на

Здесь фильтры имеют размерность [377].