15.3. Дисперсионно оптимальный метод инструментальных переменных

Рассмотрим теперь метод инструментальных переменных (7.115). При выполнении предположений (9.81) и (9.82) асимптотическая матрица ковариации оценок определяется формулой (9.84). Ясно, что выбор инструментальных переменных и предварительного фильтра может оказывать заметное влияние Какой вариант может быть оптимальным?

Нижняя граница. Допустим, что истинная система задается уравнением

Но считается известной и требуется оценить передаточную функцию Пусть

и пусть модель параметризована в виде

при соответствующим образом подобранных порядках модели. Предельные возможности в этой задаче оценивания определяются границей Крамера-Рао (9.31) (предполагается нормальность):

(сравните с (10.55); здесь символом А обозначено то, что было в модели (4.33)).

Оптимальные инструментальные переменные. Формула (15.18) определяет нижнюю границу для любого несмещенного метода оценивания параметра в из выражения (15.17). Стало быть, она применима и к методу инструментальных переменных,

поэтому (15.18) определяет нижнюю границу для (9.84). Однако эта нижняя граница достигается при

Чтобы убедиться в этом, заметим, что

где зависит только хотя зависит только от Следовательно,

и (9.84) упрощается к виду (15.18), когда система функционирует в варианте разомкнутого контура. Оптимальный выбор проектных переменных в методе инструментальных переменных дается, таким образом, формулами (15.20).

Адаптивные методы инструментальных переменных. Хотя формулы (15.20) содержат непосредственные рекомендации по наилучшему выбору инструментальных переменных, неприятная особенность состоит в том, что оптимальный выбор предварительного фильтра и инструментальных переменных определяется неизвестными свойствами истинной системы. Справиться с этим можно было бы введя надлежащим образом зависимость от в в переменные и организовав одновременно оценивание характеристик шумов. Это приводит к алгоритмам, которые и по виду и по сложности близки к аналогичным алгоритмам метода ошибки предсказания. Альтернативный путь сводится к приближенной реализации оптимального выбора в многошаговом алгоритме.

Многошаговый алгоритм. В методе инструментальных переменных выбор переменных и предварительных фильтров влияет прежде всего на асимптотическую дисперсию, в то же время свойства состоятельности сохраняются. Это означает, что минимальные отклонения от оптимальных значений, рассчитываемых по формулам (15.20), приведут к ухудшению точности получающихся оценок только в виде членов второго порядка малости. Таким образом, при формировании инструментальных переменных и предварительного фильтра можно было бы пользоваться состоятельными, но не обязательно эффективными оценками динамики системы и характеристик шумов. В целях сохранения простоты и наглядности метода инструментальных переменных на этих шагах алгоритма следует воспользоваться моделью линейной регрессии. В результате предлагается следующий четырехшаговый инструментальный алгоритм оценивания для системы, действующей по разомкнутому контуру.

Шаг 1. Записать модельную структуру (15.17) в форме линейной регрессии

Оценить 0 методом наименьших квадратов (7.34). Обозначить полученную оценку а соответствующую передаточную функцию

Шаг 2. Сформировать инструментальные переменные по формулам типа (7.108) и (7.109):

и определить инструментальную оценку параметра в (15.21), используя эти

переменные. Обозначить оценку а соответствующую оценку передаточной функции

Шаг 3. Положить

и ввести авторегрессионную модель

для порядка (порядок выбирается так, чтобы выровнять трудоемкость вычислений на каждом шаге). Оценить но методу наименьших квадратов и обозначить результат через

Шаг 4. Пусть определено по аналогии с (15.22) и пусть

Используя эти переменные и предварительный фильтр из формулы (7.115) при определить инструментальную оценку в (15.21), получив окончательную оценку в виде

Этот алгоритм является частным случаем многошаговой процедуры, рассмотренной в разделе 6.4 книги Седерстрема и Стойки [374]. Они показали, что асимптотическая матрица ковариации оценки действительно достигает границы Крамера при условии (для нашего случая), что истинная модель представляет собой авторегрессию порядка

Пример 15.2. Четырех шаговый инструментальный алгоритм.

Моделировалась система

с получением около 400 выборочных значений при белом гауссовом шуме с дисперсией являющемся бинарным сигналом со значениями Использовалась структура в виде ARX-модели второго порядка с запаздыванием на 2 такта. Применение четырехшагового инструментального алгоритма привело к следующим оценкам передаточной функции:

Пример показывает, что проведение дополнительных расчетов шагов 3 и 4 оправдано. Дополнительный выигрыш состоит в том, что на этих шагах формируются оценки характеристик шума, которые необходимы для расчета асимптотической ковариации (9.84). В результате, как это уже отмечалось, конкретизация выбора

приводит к следующим оценкам матрицы ковариации