Глава 16. ВЫБОР СТРУКТУРЫ МОДЕЛИ И ПОДТВЕРЖДЕНИЕ МОДЕЛИ

Надлежащий выбор модельной структуры является наиболее решающим условием, гарантирующим успех в решении прикладных задач. Этот выбор должен основьюаться как на понимании самой процедуры идентификации, так и на содержательной и формализованной информации об идентифицируемом объекте. В гл. 4 и 5 приводились перечни используемых для идентификации типовых модельных структур. В этой главе мы эти списки расширим, рассуждая о том, как априорное знание и поступающая информация приводят к выбору подходящей структуры.

После того, как зафиксирована структура модели, выбор конкретной модели в рамках этой структуры производится с помощью процедуры идентификации. Такая модель может быть и наилучшей, но гораздо важнее другое: достаточно ли она хороша для решения прикладной задачи. Проверка применимости данной модели известна под названием подтверждения модели. Эта методология, которая тесно связана с выбором структуры модели, также будет онисана в настоящей главе.

16.1. Общие вопросы выбора структуры модели

Путь к выбору конкретной модельной структуры включает по меныцей мере три шага:

1. Выбрать тип множества моделей. (16.1) Сюда, в частности, входит выбор между линейными и нелинейными моделями, между входо-выходными описаниями, моделями черного ящика и физически параметризованными моделями в пространстве состояний и т.д.

2. Выбрать размер множества моделей. (16.2а) Сюда входит решение таких вопросов, как выбор порядка модели в пространстве состояний, степеней многочленов в модели типа (4.33). Здесь также решается задача отбора включаемых в описание переменных. Таким образом, нужно выбрать из данной вложенной цепи структур

(вспомним определение включения Задача (16.2) будет называться задачей выбора порядка.

3. Выбор способа параметризации модели. (16.3) Когда выбор множества моделей осуществлен (например, модели в пространстве состояний фиксированного порядка), остается параметризовать

модель, т. е. подобрать подходящую модельную структуру область значений которой совпадает с раздел 4.5).

В данном разделе приводятся основные рекомендации по этим трем шагам. В гл. 12 уже говорилось о том, что целью пользователя является получение хорошей модели малой ценой. И, конечно, выбор структуры модели существенно сказывается как на качестве получающейся модели, так и на ее цене.

Качество модели. Качество получающейся модели может быть, в частности, оценено по критерию среднеквадратической ошибки типа (12.29), в котором множество проектных переменных 3) включает структуру модели (Для нелинейных систем и моделей, по крайней мере в принципе, можно было бы провести аналогичную формализацию.) В гл. 12 мы сочли удобным разбить среднеквадратическую ошибку на компоненту смещения и компоненту дисперсии:

(см. (12.29)). В результате мы будем подбирать так, чтобы и смещение, и дисперсия были невелики. Но обычно эти требования противоречат друг другу. Чтобы уменьшить смещение, нужно, как правило, использовать более масштабные и гибкие модельные структуры с большим числом параметров. А так как с ростом числа оцениваемых параметров дисперсия обычно увеличивается (см. (9.89)), наилучшая структура модели явится компромиссом между:

- гибкостью, выражающейся в использовании таких структур моделей, которыми можно описывать самые разные системы; гибкость можно обеспечить либо введением большого числа параметров, либо параметризуя стратегические точки;

и

- экономией, которая требует не использовать слишком большого числа параметров; быть "бережливым” в отношении параметризации модели.

Заключение такого компромисса можно описать формально как минимизацию (16.4) по отношению к структуре модели.

Цена модели. Цена модели обусловлена усилиями по ее расчету, т. е. по минимизации (7.120) или решению уравнения (7.121). Уровень таких усилий сильно зависит от структуры модели, которая в конечном счете определяет:

- вычислительную сложность алгоритма, в который, как мы видели в гл. 10, входят расчет ошибок предсказания и их градиентов 0) для ряда значений 0; объем соответствующих вычислений решающим образом связан с

- свойства критериальной функции, которые в виде таких характеристик формы, как наличие локальных минимумов, неединственность глобального минимума и т.д., влияют на объем вычислительных работ при определении опенки так как от этих характеристик зависит необходимое количество вычислений значений самой критериальной функции и ее градиентов; в свою очередь форма является результатом выбора и вида функциональной зависимости ошибки от 0 (т.е. от структуры модели). (16.8)

Кроме того, имеется также цена, обусловленная приложением модели. Сложную модель высокого порядка труднее использовать для решения задач моделирования и управления. Если выигрыш от использования сложной модели по сравнению с простой моделью односторонен (в смысле (16.4)), то она может не оправдать более высокой цены. А следовательно, выбор структуры зависит также от

- характера использования модели. (16.9)

Общие соображения. Окончательное решение вопросов выбора структуры модели будет компромиссом между указанными характеристиками (16.5) - (16.9). Используемые при этом приемы и соображения можно разбить на несколько групп.

Априорные соображения. Некоторые из характеристик не зависят от множества текущих данных и могут оцениваться заранее. Эти характеристики будут рассматриваться в разделе 16.2.

Методы предварительного анализа данных. При наличии данных можно провести предварительное изучение и оценку множества данных чтобы получить содержательное представление о возможных и подходящих структурах модели. Эти методы не предполагают окончательного расчета модели. Предварительный анализ данных обсуждается в разделе 16.3.

Сравнение различных структур. Прежде чем окончательно выбрать структуру модели, желательно посмотреть разные структуры и провести сравнение их качественных характеристик и цен. Это потребует проведения расчетов по нескольким моделям и их сравнительного анализа; такие процедуры описываются в разделе 16.4.

Подтверждение полученной модели. Независимо от способа построения модели множество всегда можно использовать для того, чтобы оценить степень пригодности модели для достижения поставленной цели. Если модель принимается, то тем самым неявно оказывается одобрен и выбор соответствующей модельной структуры. Методы подтверждения моделей рассматриваются в гл. 16.5.