§ 85. Вырожденная плазма

Рассмотрим полностью ионизованную плазму, в которой ионы образуют классический (больцмановский) газ, а электронная компонента уже вырождена. Для этого температура должна удовлетворять условиям

т. е.

- химические потенциалы электронов и ионов в плазме; те, — их массы; — плотность числа частиц; при оценках не делаем различия между . В то же время будем считать, что плазма лишь слабо неидеальна. Для этого энергия кулоновского взаимодействия двух частиц на расстоянии друг от друга должна быть мала по сравнению с их средней кинетической энергией .

Для ионов а для электронов Отсюда получаются условия

В V § 80 было показано, что в этих условиях основным источником поправок в термодинамических величинах плазмы (по сравнению с их значениями для идеального газа) является обменное взаимодействие электронов; энергия этого взаимодействия (отнесенная к единице объема плазмы) оказывается величиной Корреляционная же поправка (являющаяся основной в классической плазме) в вырожденной плазме мала по сравнению с обменной в отношении где Тем не менее ее вычисление для вырожденной плазмы представляет методический интерес и дает поучительную иллюстрацию применения диаграммной техники.

Оператор кулоновского взаимодействия частиц плазмы записывается в виде

где индексы a, b нумеруют различные сорта частиц — электроны и разные сорта ионов; — заряд частиц (для электронов Взяв -операторы в мацубаровском представлении, мы тем самым получим и оператор взаимодействия в этом представлении. Диаграммная техника для вычисления среднего (по распределению Гиббса) значения строится затем обычным образом путем перехода к представлению взаимодействия для мацубаровских операторов; возникающий в результате ряд теории возмущений представляет собой разложение по степеням

Выражение (85,3) не содержит «свободных» (по которым не производилось бы интегрирование) переменных. В диаграммной технике это обстоятельство выражается тем, что члены ряда теории возмущений для изображаются диаграммами, не имеющими свободных концов. Пунктирным линиям этих диаграмм (с 4-импульсами ) условимся сопоставлять множители

(не зависящие от ), т. е. взятую с обратным знаком фурье-компоненту потенциала поля единичного заряда.

Сплошным линиям должен теперь приписываться (наряду с 4-импульсом ) еще и индекс а, указывающий сорта частиц, и каждой такой линии сопоставляется множитель —-взятая с обратным знаком гриновская функция свободных частиц а. При этом сплошные линии диаграммы образуют замкнутые петли, каждая из которых содержит «звенья» с одинаковыми индексами а. Каждой вершине диаграммы — точке пересечения пунктира со сплошными линиями сорта а — сопоставляется дополнительно множитель Каждая фермионная петля вносит дополнительный множитель (-1). Построенные по этим правилам диаграммы дают члены разложения величины

Множитель V в знаменателе — объем системы; этот множитель возникает в результате того, что подынтегральное выражение в каждом члене ряда зависит только от разностей координат, и поэтому одно из интегрирований по дает просто объем V. Знак минус в (85,5) — результат определения пунктиров по правилу (85,4), т. е. со знаком минус перед Множитель же 2 - результат переноса множителя 1/2 в (85,3) в левую сторону равенства.

В первом порядке теории возмущений имеются диаграммы двух видов:

со всеми возможными а и b. Диаграммы вида (85,6а) возникают от сверток операторов, взятых в одинаковых точках пространства. Эти диаграммы отвечают прямому кулонову взаимодействию частиц а и b, равномерно распределенных в пространстве: вклады этих диаграмм взаимно сокращаются (при суммировании по всем парам а, b) ввиду электрической нейтральности плазмы. Диаграммы же вида (85,66) возникают от сверток -операторов разных аргументов и отвечают, обменному взаимодействию частиц данного сорта а. Вычисление этой диаграммы приводит к результатам, полученным уже в V § 80.

В следующем порядке возникают диаграммы следующих видов:

Диаграммы (85,7a-б) представляют собой поправки к диаграмме (85,6а) и по той же причине взаимно сокращаются при суммировании по всем а, b, с. Диаграммы (85,7в-г) представляют собой малые поправки к энергии обменного взаимодействия и не представляют здесь интереса.

Диаграмма же (85,7д) оказывается «аномально большой» ввиду расходимости соответствующего интеграла. Эта расходимость возникает в результате того, что импульсы q обоих пунктиров в диаграмме одинаковы (как это очевидным образом следует из сохранения импульса в вершинах). Поэтому диаграмма содержит интеграл расходящийся при малых q как .

В следующих приближениях появляются (наряду с диаграммами поправочных типов) также и новые «кольцевые» диаграммы с еще более сильной расходимостью. Так, диаграмма третьего порядка

с тремя пунктирными линиями с одинаковыми импульсами q содержит интеграл расходящийся, как Вообще кольцевая диаграмма порядка, образованная сплошными петлями, соединенными пунктирами, расходится, как .

Суммирование бесконечной последовательности кольцевых диаграмм приводит, как мы увидим, к эффективному обрезанию расходимостей на значениях q порядка малости ; поэтому все эти диаграммы совместно дают вклад в порядка малости

Графически этот вклад изобразится суммой (по сортам частиц) скелетных диаграмм

где жирная пунктирная линия представляет сумму бесконечного множества линейных диаграмм

с различными числами сплошных петель.

В то время как тонкая пунктирная линия изображает потенциал кулонового поля изолированного заряда, толстая пунктирная линия представляет потенциал поля, искаженного поляризацией окружающей плазмы; обозначим его посредством Ф. Весь вклад (85,8) и дает, следовательно, искомую корреляционную часть средней энергии взаимодействия в плазме.

Введем обозначение для суммы простых сплошных петель всех родов частиц и будем обозначать эту величину графически светлым кружком:

Отметим, что аргумет этой функции пробегает «четные» значения независимо от статистики, которой подчиняются частицы а. Действительно, в силу закона сохранения частот в вершине этот аргумент равен разности частот обеих сплошных линий; эта разность «четна» как при «четных», так и при «нечетных» членах разности.

С обозначением (85,10) сумма (85,8) изобразится одной скелетной диаграммой:

(85,11)

Сама же жирная пунктирная линия удовлетворяет диаграммному уравнению

(вполне аналогичному уравнениям (14,4) и (79,13)).

В аналитическом виде это уравнение гласит

откуда

(85,13)

На эти формулы полезно взглянуть с несколько иной точки зрения, чтобы установить связь с диаграммами в § 79. Дело в том, что кулоново взаимодействие между зарядами можно рассматривать как результат обмена виртуальными фотонами. При этом, однако, удобнее использовать не калибровку (75,1), а так называемую «кулонову» (см. IV § 77), в которой как раз равна фурье-компоненте кулонового потенциала. Пространственная же часть в этой калибровке описывает запаздывание и магнитное взаимодействие, и ею в нерелятивистской плазме можно пренебречь. Поэтому можно считать, что пунктирным линиям на диаграмме (85,11) соответствует мацубаровская ) а функция 5 есть не что иное, как компонента поляризационного оператора. Согласно (79,18) можно, следовательно, написать (легко видеть, что при наличии пространственной дисперсий в (79,18) входит именно продольная проницаемость Подставляя это выражение в (85,13), находим

т. е., как и следовало, фурье-компоненту потенциала единичного заряда в среде.

Раскрыв, по общим правилам мацубаровской техники, диаграмму (85,11), находим

Мы увидим ниже, что основную роль в сумме играет член с s = 0, причем соответствующий интеграл определяется областью малых q. Поэтому для вычисления фактически достаточно знать предельное значение при Эту величину легко определить из простых физических соображений, даже не прибегая к прямому вычислению по диаграммам (85,10).

При функция представляет собой фурье-образ потенциала электростатического поля единичного заряда в плазме. Невозмущенный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона с -функцией в правой части:

Уравнение же для потенциала искаженного поляризацией плазмы, получается добавлением в правой стороне изменения плотности зарядов в плазме под влиянием самого поля:

(85,16)

С другой стороны, при мы имеем дело с полем, медленно меняющимся вдоль объема плазмы. В таком поле справедливо термодинамическое условие равновесия

(85,17)

где — химический потенциал частиц сорта а, — его значение в отсутствие поля. Из этого условия находим для изменения плотности частиц :

и затем для изменения плотности заряда:

Подставив это выражение в (85,16), получим уравнение

(85,18)

где введено обозначение

Из (85,18) видно, что есть дебаевский радиус экранирования поля в плазме (ср. V § 78). Наконец, взяв фурье-компоненту от обеих сторон уравнения (85,18), найдем, что

и сравнение этого выражения с (85,13) дает

(85,20)

Производя теперь интегрирование в (85,15) с этим значением находим

Отметим прежде всего, что интеграл оказывается сходящимся на нижнем пределе и основную роль в нем играют . Для невырожденной ионной компоненты плазмы имеем а для электронов . Легко видеть, что в силу условий (85,2) , а потому и велико по сравнению с межчастичными расстояниями.

Этим оправдывается использование условия равновесия (85,17). Для оправдания же пренебрежения всеми членами суммы в (85,15) кроме члена с замечаем, что, согласно (85,14), поляризация плазмы при отличных от нуля частотах описывается диэлектрической проницаемостью Согласно известному асимптотическому выражению при больших частотах, а потому

(см. VIII § 59). В силу условий все отличные от нуля частоты — и потому для них можно уже считать т. е. поляризация плазмы отсутствует и мало.

Формула (85,21) выражена через термодинамические переменные Поэтому термодинамический потенциал плазмы может быть найден прямым интегрированием равенства

(см. V (80,4)). В результате найдем для корреляционной части Q следующее выражение (обычные единицы):

(85,23)

(А. А. Веденов, 1959). Согласно общей теореме о малых добавках, эта же формула, выраженная через другие термодинамические переменные, дает поправку к другим термодинамическим потенциалам.

Для невырожденной плазмы все производные и тогда (85,23) переходит в формулу

(85,24)

для поправки к свободной энергии, совпадающую с V (78,12).

В случае сильного вырождения электронов в плазме производная . В сумме по а в (85,23) можно тогда вообще пренебречь электронным членом, и мы снова получаем формулу (85,24) с той лишь разницей, что сумма в ней берется лишь по сортам ионов в плазме. Таким образом, при сильном вырождении электроны вообще не влияют на радиус экранирования и на корреляционную часть термодинамических величин плазмы.